Действия над конечными случайными величинами

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Действия над конечными случайными величинами

Содержание

2. Содержание Конечные случайные величины Совместное распределение Математическое ожидание Дисперсия и среднеквадратичное отклонение Ковариация и коэффициент корреляции
3. Конечная случайная величина Ω: A = → X(ω) = ⇒ закон распределения конечной случайной величины
4. Примеры* 1. (М) X: {количество «орлов»} = 0 и 1, p = ½ 2. Постоянная случайная
5. MIq_307 График функции вероятностей конечной случайной величины
6. Совместное распределение X Совместные вероятности Совместное распределение ({хi, уj}; pij)
7. Таблица совместного распределения
8. Таблица совместного распределения Х и Y
9. Совместное распределение ∑pij (j = 1…n) = pi , ∑pij (i = 1…n) = qj 3ная
10. Независимые X X, Y – независимы ≡{X= хi}, {Y=уj}независимы, i=1,2, ..., т; j=1, 2, ..., п;
11. Пусть независимые X1 , X2 , …….., Xn бернуллиевы случайные величины: ⇒ Bn,p = X1 +
12. Свойства: 1. Мс = с ⇒ Мс = с • 1 = с 2. X≥ 0
13. Bn,p = X1 + X2 + … + Xn Бернуллиевы величины ⇒ MBn,p= MX1 + MX2
14. U: {W=4, B=6} наугад вынимают шар и возвращают обратно. Опыт повторяют 10 раз = W шар.
15. M(X – MX) = MX – M(MX) = MX - MX = 0 Центрированная Y =
16. Дисперсия Случайная величина распределена по закону
17. Среднеквадратичное отклонение σ2(x) ∨ σx2 ∨ стандартное отклонение X Свойства: DX ≥ 0 D(cX) = c2DX
18. Пример с U… U: B=3, W=2. Из U наугад вынимают 2 шара. X — число W
19. Dbn,p = DX1 + DX2 + …+ DXn ∧ X2 = X и MX = MX2
20. не меняет дисперсии Случайная величина называется стандартизованной (по отношению к X ) или просто стандартизацией X
21. Ковариация X и Y Свойства: Cov(X, Y) = M(X · Y) - MX · MY Cov(X,
22. Коэффициент корреляции между случайными величинами:
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
Конечные случайные величины
Совместное распределение
Математическое ожидание
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение
Ковариация и коэффициент корреляции

Слайд 3

Конечная случайная величина
Ω: A = → X(ω) =
⇒ закон распределения

конечной случайной величины

Слайд 4

Примеры*
1. (М) X: {количество «орлов»} = 0 и 1, p =

½
2. Постоянная случайная величина
3. Биноминальная величина

Слайд 5

MIq_307
График функции вероятностей конечной случайной величины

Слайд 6

Совместное распределение X
Совместные вероятности
Совместное распределение ({хi, уj}; pij)

Слайд 7

Таблица совместного распределения

Слайд 8

Таблица совместного распределения Х и Y

Слайд 9

Совместное распределение
∑pij (j = 1…n) = pi , ∑pij (i =

1…n) = qj
3ная совместное распределение X и Y, можно восстановить законы распределения величин X и Y
Обратное утверждение неверно. Распределения X и Y называют маржинальными по отношению к их совместному распределению.

Слайд 10

Независимые X
X, Y – независимы ≡{X= хi}, {Y=уj}независимы, i=1,2,

..., т; j=1, 2, ..., п;
⇒
Действия над конечными случайными величинами
X+Y ⇒ Xi+yj; XY ⇒ Xiyj;
Свойства:
(X + Y) +X = X + (Y + Z), (XY)z = X(YZ)
X + Y = Y + X, XY = YX
X(Y + Z) = XY + XZ

Слайд 11

Пусть независимые X1 , X2 , …….., Xn бернуллиевы случайные величины:
⇒

Bn,p = X1 + X2 + … +Xn

Теорема:

Слайд 12

Свойства:
1. Мс = с ⇒ Мс = с • 1 =

с
2. X≥ 0 ⇒ МX ≥ 0
3. М(сX) = сМX
4.
5.

Слайд 13

Bn,p = X1 + X2 + … + Xn
Бернуллиевы величины
⇒ MBn,p=

MX1 + MX2 + … + MXn
MXi = 0⋅q + 1⋅p = p
MBn,p сумма п одинаковых слагаемых, равных р, т.е. МВn,p = пр

MX биномиальной X

Слайд 14

U: {W=4, B=6} наугад вынимают шар и возвращают обратно. Опыт повторяют

10 раз = W шар. X — число успешных испытаний.
Биномиальная случайная величина при n = 10 и р = 0,4 (вероятность успеха)
⇒ MX = MB10, 0, 4 = 10 ⋅ 0,4 = 4

Пример

Слайд 15

M(X – MX) = MX – M(MX) = MX - MX

= 0
Центрированная Y = X – MX, при MY = 0
Свойство 6
Для независимых случайных величин pij = pi qj

Свойство 5

Слайд 16

Дисперсия
Случайная величина распределена по закону

Слайд 17

Среднеквадратичное отклонение σ2(x) ∨ σx2
∨ стандартное отклонение X
Свойства:
DX ≥ 0

D(cX) = c2DX
D(X + c) = DX; D(aX +b) = a2DX
D(X + Y) = DX + DY (X и Y независимы)
DX = MX2 – (MX)2

Слайд 18

Пример с U…
U: B=3, W=2. Из U наугад вынимают 2 шара.

X — число W среди вынутых. закон распределения X
МX = 0 • 0,3 + 1 • 0,6 + 2 • 0,1 = 0,8
DX = (0 - 0,8)2·0,3 + (1 - 0,8)2·0,6 + (2 - 0,8)2·0,1 = 0,64·0,3 + 0,04·0,6 + 1,44·0,1 =0,36
по формуле 5 X2 имеет распределение
и МX2 = 1
⇒ DX = 1 - 0,82 = 0,36

Слайд 19