Теоремы о пределах

Август 23, 2022

Главная
Математика
Теоремы о пределах

Содержание

2. ТЕОРЕМА 1. Функция не может иметь более одного предела.
3. Доказательство: Предположим обратное: что функция f(x) имеет два предела: А и D, Тогда функцию f(x) можно
4. Вычитаем почленно эти равенства: Но по условию теоремы а разность является бесконечно малой величиной. Следовательно, предположение
5. ТЕОРЕМА 2. Предел алгебраической суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
6. Доказательство: По условию теоремы: Тогда функции f(x) и φ(x) можно представить как суммы: и Где -
7. Сумма бесконечно малых величин является величиной бесконечно малой. Таким образом, функция f(x) + φ(x) представляет собой
8. ТЕОРЕМА 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
9. Следствие.
10. ТЕОРЕМА 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
11. ТЕОРЕМА 5. Если и то предел сложной функции существует и равен
12. ТЕОРЕМА 6. Если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших х) то
13. Замечание В этих теоремах полагается, что существуют пределы функций f(x) и φ(x), из чего следует существование
15. Скачать презентацию

Слайд 2

ТЕОРЕМА 1.
Функция не может иметь более
одного предела.

Слайд 3

Доказательство:
Предположим обратное: что функция f(x) имеет два предела: А и D,

Тогда функцию f(x) можно представить как сумму:

или

Где

- бесконечно малые величины при

или

Слайд 4

Вычитаем почленно эти равенства:
Но по условию теоремы
а разность
является бесконечно малой

величиной. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно, и функция имеет единственный предел.

Слайд 5

ТЕОРЕМА 2.
Предел алгебраической суммы
(разности) конечного числа функций
равен сумме (разности) пределов

этих
функций:

Слайд 6

Доказательство:
По условию теоремы:
Тогда функции f(x) и φ(x) можно представить как суммы:
и
Где
-

бесконечно малые величины при

или

Складываем почленно эти равенства:

Слайд 7

Сумма бесконечно малых величин является величиной бесконечно малой.
Таким образом, функция f(x)

+ φ(x) представляет собой сумму числа А+В и бесконечно малой величины, следовательно

Слайд 8

ТЕОРЕМА 3.
Предел произведения конечного
числа функций равен произведению
пределов этих функций:

Слайд 9

Следствие.

Слайд 10

ТЕОРЕМА 4.
Предел частного двух функций равен
частному пределов этих функций:

Слайд 11

ТЕОРЕМА 5.
Если
и
то предел сложной функции существует и равен

Слайд 12

ТЕОРЕМА 6.
Если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших

х)

то

Слайд 13

Замечание
В этих теоремах полагается, что существуют пределы функций f(x) и φ(x),

из чего следует существование пределов суммы, произведения или частного этих функций.

Однако из существования пределов суммы, произведения или частного еще не следует, что существуют пределы самих функций f(x) и φ(x).