Теоремы сложения и умножения вероятностей

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Теоремы сложения и умножения вероятностей

Содержание

2. Терминология Ω – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта). Любое
3. Пример Опыт – получение оценки на экзамене. , А= { ω:ω – положительная оценка}
4. Основные определения Определение 1: Суммой двух событий А, B называется событие С, состоящее в выполнении события
5. Основные определения Определение 3: События А1, А2,….,Аn – образуют полную группу, если А1 + А2 +
6. Пример Опыт – получение оценки на экзамене. , Событие А : получение пятерки Событие : ?
7. Теорема сложения вероятностей Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A
8. Теорема сложения вероятностей В случае, когда события А и B совместны, вероятность их суммы выражается формулой:
9. Теорема сложения вероятностей Теорема 2: (Ai Aj = Ø, i ≠ j), . Если A1, …,An
10. Определения Определение 6: Условной вероятностью события А при наличии B называется вероятность события А, вычисляемая при
11. Теорема умножения вероятностей Теорема 3: Для независимых событий: P(AB) = P(A)∙ P(B), P(∏ Ai) = ∏P(Ai)
12. Примеры: Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова вероятность того, что студент ответит на 3
13. Примеры Студент сдает три экзамена. Ai – сдан i экзамен. Представить в виде суммы, произведения следующие
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Терминология
Ω – множество всех возможных исходов опыта.
ω – элементарное событие

(неразложимый исход опыта).
Любое событие А есть некоторое подмножество Ω ( ).
Ω – достоверное событие,
Ø – невозможное событие.

Слайд 3

Пример
Опыт – получение оценки на экзамене.
,
А= { ω:ω

– положительная оценка}

Слайд 4

Основные определения
Определение 1: Суммой двух событий А, B называется событие С,

состоящее в выполнении события А или события B
. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Определение 2:Произведением нескольких событий называется событие C, состоящее в совместном выполнении всех этих событий

Слайд 5

Основные определения
Определение 3: События А1, А2,….,Аn – образуют полную группу, если

А1 + А2 + … + Аn=Ω
Определение 4: События А1, А2,….,Аn несовместные, если Аj ∙ Ai =Ø (i≠j)
Определение 5: Противоположным по отношению к событию A называется событие , состоящее в не появлении А, а значит дополняющее его до Ω

Слайд 6

Пример
Опыт – получение оценки на экзамене.
,
Событие А :

получение пятерки
Событие : ?
: получение 2, 3, 4.

Слайд 7

Теорема сложения вероятностей
Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме

вероятностей этих событий.
P(A + B) = P(A) + P(B) (AB=Ø)
Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что он выберет билет с четным номером?

Слайд 8

Теорема сложения вероятностей
В случае, когда события А и B совместны, вероятность

их суммы выражается формулой:
Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что студент вытянет билет, номер которого делится на 2 или на 3?

Слайд 9

Теорема сложения вероятностей
Теорема 2:
(Ai Aj = Ø, i ≠ j),
.
Если

A1, …,An – несовместны, образуют полную группу, то
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Слайд 10

Определения
Определение 6: Условной вероятностью события А при наличии B называется вероятность

события А, вычисляемая при условии, что событие B произошло. Обозначается P(A׀B).
Определение 7: События А и B называются независимыми, если появление одного не меняет вероятности появления другого.
P(A ׀ B) = P(A), P(B ׀ A)=P(B), для независимых событий.

Слайд 11

Теорема умножения вероятностей
Теорема 3:
Для независимых событий:
P(AB) = P(A)∙ P(B),

P(∏ Ai) = ∏P(Ai)
Для произвольных событий
P(AB) = P(A)∙ P(B ׀ A),
P(A1 ∙ A2 ∙ A3… ∙ An) =
= P(A1)∙P(A2׀A1)∙P(A3 ׀ A1A2)…P(An ׀ A1…An-1)

Слайд 12

Примеры:
Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова вероятность того, что

студент ответит на 3 вопроса?
Студент знает половину материала. Вопросы генерируются компьютерной программой случайным образом по всему курсу. Какова вероятность ответить на три вопроса?

Слайд 13

Примеры
Студент сдает три экзамена. Ai – сдан i экзамен. Представить в

виде суммы, произведения следующие события:
А – все три экзамена сданы
В – все три экзамена не сданы
С – первый и второй не сдан
D – хотя бы один сдан
E – хотя бы один не сдан
G – только 3-ий сдан
F – не менее двух сдано
H – не более одного сдано

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Содержание

ТерминологияΩ – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие

ПримерОпыт – получение оценки на экзамене. , А= { ω:ω

Основные определенияОпределение 1: Суммой двух событий А, B называется событие С,

Основные определенияОпределение 3: События А1, А2,….,Аn – образуют полную группу, если

ПримерОпыт – получение оценки на экзамене. , Событие А :

Теорема сложения вероятностейТеорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме

Теорема сложения вероятностейВ случае, когда события А и B совместны, вероятность

Теорема сложения вероятностейТеорема 2: (Ai Aj = Ø, i ≠ j),.Если

ОпределенияОпределение 6: Условной вероятностью события А при наличии B называется вероятность

Теорема умножения вероятностейТеорема 3: Для независимых событий: P(AB) = P(A)∙ P(B),

Примеры:Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова вероятность того, что

ПримерыСтудент сдает три экзамена. Ai – сдан i экзамен. Представить в

Похожие презентации