Функции нескольких переменных

переменных.

Определение функции двух переменных (ФДП)

Если каждой паре (х; у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то мы говорим, что z есть функция двух переменных, определенная на области D.

Совокупность пар (х; у) значений независимых переменных, при которых определяется функция z называется областью определения этой функции.

Область определения ФДП наглядно иллюстрируется геометрически в виде некоторой совокупности точек на плоскости XOY

2/17

области D, не лежащие на границе называются внутренними точками области

Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой

Если к области относятся внутренние точки и точки границы, то область называется замкнутой

Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Так как логарифм определен только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство:

Таким образом, областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой y = -x, не включая самой прямой

Такая область называется неограниченной

3/17

плоскости XOY.

Графическое изображение ФДП

D

Возьмем в области D точку М(x; y),

M

Восстановим в точке М перпендикуляр к плоскости XOY и на нем отложим расстояние, равное f(x; y)

Так мы получим в пространстве точку P с координатами: x; y; z = f(x;y)

Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f(x;y), называется графиком функции двух переменных.

Таким образом, графиком ФДП является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции.

Р

f(x; y)

4/17

функции

Тогда z получит приращение , которое называется частным приращением z по y:

Р

Рассмотрим линию PS пересечения поверхности с плоскостью x = const, параллельной плоскости YOZ.

S

Переменная z вдоль линии PS будет меняться только в зависимости от изменения переменной y.

Дадим переменной y приращение Δy.

Δy

Δyz

5/17

z получит приращение , которое называется частным приращением z по x:

Р

S

Если пересечь поверхность плоскостью, y = const, то вдоль линии пересечения переменная z меняется только в зависимости от переменной x

Δx

Δxz

Наконец, сообщив переменной x приращение Δx , а переменной y приращение Δy, получим для z новое приращение , которое называется полным приращением функции z :

6/17

называется предел отношения частного приращения по x к приращению Δх при стремлении Δх к нулю.

Частная производная по х обозначается одним из символов:

Частной производной по у от функции z = f(x;y) называется предел отношения частного приращения по у к приращению Δу при стремлении Δу к нулю.

7/17

при неизменном x, можно определение частных производных сформулировать так:

Частной производной по x от функции z называется производная, вычисленная в предположении, что y – постоянная, частной производной по y от функции z называется производная, вычисленная в предположении, что x – постоянная

Вычислить частные производные от функции:

8/17

в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал, определяемый выражением:

Так как x; y – независимые переменные, то их приращения равны дифференциалам:

Поэтому формулу полного дифференциала можно записать в виде:

Можно доказать, что полное приращение функции Δz и полный дифференциал dz связаны друг с другом с помощью соотношения:

9/17

функции когда Δx и Δy стремятся к нулю.

Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции может быть представлено в виде полного дифференциала и величины бесконечно малой высшего порядка относительно

Поэтому, имеет место приближенная формула, которая применяется в приближенных вычислениях:

(1)

10/17

(3,01; 4,02)

Тогда, согласно формуле (1):

(3;4)

(3;4)

11/17

переменных x и y:

В этом случае z есть сложная функция от аргументов x и y.

(4)

Предположим, что функции

имеют непрерывные частные производные по всем аргументам, тогда частные производные функции z по переменным x и y вычисляются по формулам:

14/17

y.

Подставим найденные производные в формулы (4):

15/17

от одной переменной x , то в конечном итоге z также является функцией одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной

(5)

В частном случае

, где y зависит только от x:

Тогда, для нахождения производной используют формулу:

(6)

16/17