Теоремы сложения совместных и несовместных событий

Август 23, 2022

Главная
Математика
Теоремы сложения совместных и несовместных событий

Содержание

2. ЦЕЛИ УРОКА Образовательные: изучить теоремы сложения и умножения вероятностей; научить в процессе реальной ситуации определять термины
3. РАЗМИНКА № 1 №2. Номер машины состоит из 3 букв и 4 цифр. Сколько всего существует
4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Всякий результат (исход) опыта – ….. Случайное событие -…... Достоверное событие – ….. Невозможное
5. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей
6. Следствия из теоремы сложения вероятностей для несовместных событий Для двух несовместных событий: P(A + B) =
7. ЗАДАЧА 1 В лотерее участвуют 100 билетов, из которых на 5 билетов падает выигрыш 20 рублей,
8. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СОВМЕСТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей
9. ЗАДАЧА 2
10. ЗАДАЧА 3 В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт, 50 – по 60
11. РЕШЕНИЕ Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки равна 60 Вт, В –
12. ЗАДАЧА 4 В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные, остальные белые. Определить вероятность
13. 4 галстука из 12 красных можно выбрать способами, аналогично 4 белых - способами. Вероятность того, что
14. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 4. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5.
15. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 7. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,91. Вероятность того, что
16. ОТВЕТЫ 4. 0,375 5. 6. 0,025 7. 0,13
17. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ Условной вероятностью события А называется его вероятность при условии, что другое событие
18. Пример . В урне 4 белых и 3 красных шара. Производится извлечение шаров без возвращения. Найти:
19. ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ДВУХ СОБЫТИЙ
20. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
21. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению
22. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
23. ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
24. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и
25. РЕШЕНИЕ Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар; А2 – из второй урны извлечен
26. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; Вероятность
27. Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие Е – выход из строя второго
28. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 4.В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи»: а) Бросают пару различных монет. «Неудача»
29. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 6. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При
31. Скачать презентацию

Слайд 2

ЦЕЛИ УРОКА
Образовательные:
изучить теоремы сложения и умножения вероятностей;
научить в процессе

реальной ситуации определять термины теории вероятностей;
научить решать реальные жизненные задачи.
Воспитательные:
развивать развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
Развивающие:
способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитического мышления, смысловой памяти, внимания; умения работать с дополнительной литературой;
развитию навыков исследовательской деятельности.

Слайд 3

РАЗМИНКА
№ 1
№2.
Номер машины состоит из 3 букв и 4 цифр. Сколько

всего существует разных номеров, если алфавит содержит 32 буквы?

Слайд 4

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Всякий результат (исход) опыта – …..
Случайное событие -…...

Достоверное событие – …..
Невозможное событие – ……
Несовместные события – ….
Совместные события – …….
Противоположные события – …..

Слайд 5

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично

какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Слайд 6

Следствия из теоремы сложения вероятностей
для несовместных событий
Для двух несовместных событий: P(A

+ B) = P(A) + P(B), то есть вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
2. Для нескольких несовместных событий
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) + P(An).
Первые два следствия повторяют аксиому сложения вероятностей.
3. Для полной группы несовместных событий
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) + P(An) = 1.

4)Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Слайд 7

ЗАДАЧА 1
В лотерее участвуют 100 билетов, из которых на 5

билетов падает выигрыш 20 рублей, на 10 билетов – 15 руб., на 15 билетов – 10 руб., на 25 билетов – 2 рубля.
Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10 рублей.
Решение.
Пусть А,В,С – события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20,15 и 10 руб.
Т.к. события А,В и С несовместны, то
Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 5 + 10 + 15 = 0,3
100 100 100
Ответ: 0,3.

Слайд 8

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СОВМЕСТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятность появления хотя бы одного из двух

совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Слайд 9

ЗАДАЧА 2

Слайд 10

ЗАДАЧА 3
В коробке 250 лампочек, из них
100 по 100 Вт,

50 – по 60 Вт, 50 - по 25 Вт,
50 - по 15 Вт.
Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки
не превысит 60 Вт.

Слайд 11

РЕШЕНИЕ
Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки

равна 60 Вт, В – 25 Вт, С – 15 Вт, D – 100 Вт. События А,В,С,D образуют полную систему, т.к.все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном испытании (выборе лампочки), т.е.
Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D) = 1.
События «мощность лампочки не более 60 Вт» и
«мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные.
По свойству противоположных событий
Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р(D),
Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3
250 250 5
Ответ: 0,6

Слайд 12

ЗАДАЧА 4
В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них

красные, остальные белые. Определить вероятность того, что из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета.
Решение
Пусть А – событие, состоящее в том, что все 4 галстука будут красные,
В – все 4 галстука будут белыми
4 галстука из 30 можно выбрать

Слайд 13

4 галстука из 12 красных можно выбрать
способами, аналогично
4 белых -

способами.
Вероятность того, что все 4 галстука будут красные, равна
Ответ: 0,13

4 галстука из 30 можно выбрать

способами

Слайд 14

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
4. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при

одном выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
5. У продавца имеется 10 оранжевых,8 синих, 5 зеленых
и 15 желтых шаров. Найти вероятность того, что купленный шар окажется оранжевым, синим или зеленым.
6. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 100 денежных выигрышей. Найти вероятность выигрыша денежного или вещевого
на один лотерейный билет.

Слайд 15

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
7. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна

0,91. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,78.
Найти вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Слайд 16

ОТВЕТЫ
4. 0,375
5.
6. 0,025
7. 0,13

Слайд 17

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
Условной вероятностью события А называется его вероятность

при условии, что другое событие В произошло.
Обозначение: Р (A/B).
Условные вероятности обладают всеми свойствами обычных (безусловных) вероятностей, в частности, 0 <= P(A/B) <= 1.

Слайд 18

Пример . В урне 4 белых и 3 красных шара. Производится

извлечение шаров без возвращения. Найти: а) вероятность извлечения белого шара;
б) вероятность извлечения белого шара при условии, что до того был извлечен красный шар; в) вероятность извлечения белого шара при условии, что до того был извлечен белый шар.

Решение. Используем классическое определение вероятности события и условной вероятности события.
а) P(Б) = 4/7 = 0,57;
б) P(Б/К) = 4/6 = 0,67;
в) P(Б/Б) = 3/6 = 0,5.

Слайд 19

ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ДВУХ СОБЫТИЙ

Слайд 20

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна

произведению их вероятностей:

Слайд 21

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
1. Вероятность произведения двух независимых

событий равна произведению их вероятностей:
P(AB) = P(A) * P(B).
Это утверждение обобщается на несколько независимых событий, в частности
P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C).
2. Если событие А зависит от события B, то и событие B зависит от события А, то есть вероятностная зависимость является взаимной.

Слайд 22

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ

Слайд 23

ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ

Слайд 24

В первой урне находятся
6 черных и 4 белых шара,
во второй

– 5 черных и 7 белых.
Из каждой урны извлекают
по одному шару.
Какова вероятность того,
что оба шара окажутся
белыми?

Задача 1

Слайд 25

РЕШЕНИЕ
Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар;
А2 –

из второй урны извлечен белый шар.
События А1 и А2 независимы.
Ответ:

Слайд 26

Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо.
Вероятность выхода из строя
первого

элемента равна 0,2;
Вероятность выхода из строя
второго элемента равна 0,3.
Найти вероятность того, что:
а) оба элемента выйдут
из строя;
б) оба элемента будут
работать.

Задача 2

Слайд 27

Пусть событие А – выход из строя первого элемента,
событие Е

– выход из строя второго элемента.
Эти события независимы ( по условию).
а) одновременно появление А и Е есть событие АЕ
Р(АЕ) = 0,2·0,3 = 0,06
б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя);
Если работает второй элемент – событие Ē, противоположное событию Е
Р(Ā) =1- 0,2 = 0,8 и Р(Ē) = 1-0,3 = 0,7
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть ĀĒ.
Р(ĀĒ) = Р(Ā)·Р(Ē) = 0,8·0,7 = 0,56.
Ответ: 0,56.

Решение

Слайд 28

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
4.В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи»:
а) Бросают пару

различных монет. «Неудача» – выпадение двух орлов.
б) Бросают игральный кубик. «Успех» – выпадение числа,
кратного трем.
в) Бросают пару различных кубиков. «Неудача» – выпадение двух четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5. «Успех» – среди них нет дамы пик.
5. В экзаменационные билеты включено по 2 теоретических вопроса и по 1 задаче. Всего составлено 28 билетов. Вычислить вероятность того, что, вынув наудачу билет, студент ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.

Слайд 29

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
6. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет

первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.
7. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: A = {вынутая карта – туз},
В = {вынутая карта чёрной масти},
F = {вынутая карта – фигура, т.е. является валетом, дамой, королём или тузом}.
Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий: A и B, A и F, F и B

Теоремы сложения совместных и несовместных событий

Содержание

ЦЕЛИ УРОКА Образовательные: изучить теоремы сложения и умножения вероятностей;научить в процессе

РАЗМИНКА№ 1№2.Номер машины состоит из 3 букв и 4 цифр. Сколько

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Всякий результат (исход) опыта – ….. Случайное событие -…...

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙВероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично

Следствия из теоремы сложения вероятностейдля несовместных событийДля двух несовместных событий: P(A

ЗАДАЧА 1 В лотерее участвуют 100 билетов, из которых на 5

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СОВМЕСТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность появления хотя бы одного из двух

ЗАДАЧА 2

ЗАДАЧА 3В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт,

РЕШЕНИЕ Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки

ЗАДАЧА 4 В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них

4 галстука из 12 красных можно выбратьспособами, аналогично 4 белых -

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ4. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ7. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна

ОТВЕТЫ4. 0,3755. 6. 0,0257. 0,13

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ Условной вероятностью события А называется его вероятность