Теория пределов

Август 6, 2022

Главная
Математика
Теория пределов

Содержание

2. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще в Древней Греции при вычислении площадей и
3. ДЖОН ВАЛЛИС (JOHN WALLIS‎) Точнее - Джон Уоллес (1616-1703) английский математик, предшественник математического анализа. Сын священника
4. ЛЕКЦИЯ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Понятие числовой последовательности. Способы задания последовательности Ограниченные последовательности Монотонные последовательности Предел последовательности
5. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ - это множество чисел, занумерованных либо конечным отрезком натурального ряда (конечная последовательность), либо всеми
6. ПРИМЕРЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
7. ИНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Отображение множества натуральных чисел N на некоторое конечное или счетное числовое множество A,
8. ДЕЙСТВИЯ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ – задание формулы общего члена последовательности, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно
10. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
11. РЕКУРРЕНТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
12. ОПИСАТЕЛЬНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
13. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
14. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
16. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей Возрастающие и убывающие последовательности
17. ПРИМЕР 1
18. ВОПРОСЫ. Является ли постоянная последовательность монотонной? А строго монотонной? Приведите примеры возрастающей и убывающей последовательности Приведите
19. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
20. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Промежуток (a-ε;a+ ε) называют ε-окрестностью точки a. Используя понятие ε-окрестности можно дать следующее определение
21. ПРИМЕР 2
22. ПРИМЕР 2
23. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1) Теорема об единственности предела: Последовательность не может сходится к двум различным
24. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
25. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
26. ПРИМЕР 3
27. ПРИМЕР 3 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
28. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной Т.е. любая
29. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
30. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
31. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонна и ограничена, то она обязательно сходится Карл
32. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
33. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
34. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
35. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
36. Названо в честь шотландского учёного Джона Непера (1550—1617), автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год),
37. Саму константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли(1655-1705) в ходе решения задачи о предельной величине процентного
38. Букву e начал использовать швейцарский, немецкий и российский математик и механик, Леонард Эйлер в 1727 году.
40. Скачать презентацию

Слайд 2

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще в Древней Греции

при вычислении площадей и объемов (Архимед)
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII в (Исаак Ньютон, Готфрид Вильгельм Лейбниц) тоже неявно использовали понятие предельного перехода
Определение понятия предела – работа Джона Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (1655 г.)
В XIX в теория пределов использована для строгого обоснования математического анализа (Огюстен Луи Коши)
Дальнейшая разработка теории пределов – Карл Вейерштрасс, Бернард Больцано и др.

Слайд 3

ДЖОН ВАЛЛИС (JOHN WALLIS‎)
Точнее - Джон Уоллес (1616-1703) английский математик, предшественник

математического анализа. Сын священника из Эшфорда.
Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа

По окончании Кембриджского университета стал священником англиканской церкви и получил степень магистра. После женитьбы (1645) вынужден был покинуть университет, так как от профессоров в те годы требовался обет безбрачия.

Слайд 4

ЛЕКЦИЯ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие числовой последовательности.
Способы задания последовательности
Ограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Предел последовательности
Теоремы

о пределах последовательностей
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательностей
Примеры

Слайд 5

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- это множество чисел, занумерованных либо конечным отрезком натурального ряда

(конечная последовательность), либо всеми натуральными числами (бесконечная последовательность)
Элементы этого множества называются членами последовательности и обозначаются an, где n - его номер
Сама последовательность записывается как
a1, a2, a3, … an …. или {an}

Слайд 6

ПРИМЕРЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Слайд 7

ИНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Отображение множества натуральных чисел N на некоторое конечное или

счетное числовое множество A, при котором каждому натуральному числу n соответствует один и только один элемент множества А - an.
Функция an= f(n), заданная на множестве натуральных чисел N

Слайд 8

ДЕЙСТВИЯ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ

Слайд 9

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
– задание формулы общего члена последовательности, позволяющую по

номеру члена последовательности однозначно его вычислить

Слайд 10

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 11

РЕКУРРЕНТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 12

ОПИСАТЕЛЬНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 13

ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 14

ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 15

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 16

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей

Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными
Если все элементы последовательности {xn} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Слайд 17

ПРИМЕР 1

Слайд 18

ВОПРОСЫ.

Является ли постоянная последовательность монотонной? А строго монотонной?
Приведите примеры возрастающей

и убывающей последовательности
Приведите примеры ограниченной и не ограниченной последовательности

Слайд 19

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 20

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Промежуток (a-ε;a+ ε) называют ε-окрестностью точки a.
Используя понятие ε-окрестности

можно дать следующее определение предела:
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N0 такой, что все члены последовательности с номерам n>N0 принадлежат ε-окрестности точки a

Слайд 21

ПРИМЕР 2

Слайд 22

ПРИМЕР 2

Слайд 23

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1) Теорема об единственности предела: Последовательность не может

сходится к двум различным пределам
2) Предел последовательности, все члены которой равны одной и той же величине, равен этой величине.
3) Если последовательность {xn} сходится к а и а>p (a4) Если последовательность имеет предел, то она ограничена

Слайд 24

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 25

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 26

ПРИМЕР 3

Слайд 27

ПРИМЕР 3 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Слайд 28

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она

была ограниченной
Т.е. любая сходящаяся последовательность ограничена
Однако обратное утверждение не верно, из ограниченности последовательности не всегда следует ее сходимость, т.е. это условие не является достаточным

Слайд 29

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 30

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 31

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теорема Вейерштрасса:
Если последовательность монотонна и ограничена, то она

обязательно сходится

Карл Те́одор Вильге́льм Ве́йерштрасс

Слайд 32

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 33

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 34

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 35

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Слайд 36

Названо в честь шотландского учёного Джона Непера (1550—1617), автора работы «Описание

удивительной таблицы логарифмов» (1614 год), одного из изобретателей логарифмов,

Слайд 37

Саму константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли(1655-1705) в ходе решения

задачи о предельной величине процентного дохода (1690 г).

Слайд 38

Букву e начал использовать швейцарский, немецкий и российский математик и механик,

Леонард Эйлер в 1727 году.
Почему была выбрана именно буква e? Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое

предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Также примечательно, что буква e является первой в фамилии Эйлер (Euler).

Теория пределов

Содержание

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКАИнтуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще в Древней Греции

ДЖОН ВАЛЛИС (JOHN WALLIS‎)Точнее - Джон Уоллес (1616-1703) английский математик, предшественник

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ- это множество чисел, занумерованных либо конечным отрезком натурального ряда

ПРИМЕРЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

ИНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИОтображение множества натуральных чисел N на некоторое конечное или

ДЕЙСТВИЯ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ– задание формулы общего члена последовательности, позволяющую по

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

РЕКУРРЕНТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПИСАТЕЛЬНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИВозрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей

ПРИМЕР 1

ВОПРОСЫ. Является ли постоянная последовательность монотонной? А строго монотонной?Приведите примеры возрастающей

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИПромежуток (a-ε;a+ ε) называют ε-окрестностью точки a. Используя понятие ε-окрестности

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 2

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ1) Теорема об единственности предела: Последовательность не может

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ПРИМЕР 3

ПРИМЕР 3 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИДля того, чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИТеорема Вейерштрасса:Если последовательность монотонна и ограничена, то она

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Названо в честь шотландского учёного Джона Непера (1550—1617), автора работы «Описание

Саму константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли(1655-1705) в ходе решения

Букву e начал использовать швейцарский, немецкий и российский математик и механик,

Похожие презентации

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще в Древней Греции

ДЖОН ВАЛЛИС (JOHN WALLIS‎)
Точнее - Джон Уоллес (1616-1703) английский математик, предшественник

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- это множество чисел, занумерованных либо конечным отрезком натурального ряда

ИНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Отображение множества натуральных чисел N на некоторое конечное или

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
– задание формулы общего члена последовательности, позволяющую по

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей

ВОПРОСЫ.

Является ли постоянная последовательность монотонной? А строго монотонной?
Приведите примеры возрастающей

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Промежуток (a-ε;a+ ε) называют ε-окрестностью точки a.
Используя понятие ε-окрестности

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1) Теорема об единственности предела: Последовательность не может

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теорема Вейерштрасса:
Если последовательность монотонна и ограничена, то она