Теория статистических решений (статистические игры, игры с «природой«)

ПРИМЕР:
d1 – не брать зонтик,
d2 – взять зонтик
s1 – будет дождь
s2 – будет ясно
{ai,j}=
(p1,p2) = (0,3; 0,7)

Принцип минимакса (критерий Вальда)
d* : L (d*) = min max L(d,s)
d s
Принцип минимальных ожидаемых потерь (критерий Байеса)
d* : ML (d*) = min ML (d),
d
где ML(d) = ∑ L(d,s)*P(s) =∑ai,j*pj
s j
- математическое ожидание потерь при выборе «статистиком» стратегии d

ПРИМЕР:
…
d* = d2 L(d*) = 50
ML(d1) =
= 100*0,3 +
+ 0*0,7 = 30
ML(d2) =
- 50*0,3 +
+ 50*0,7 = 20
d* = d2 L(d*) = 20

Нецелесообразно использовать ожидаемое значение стоимостного выражения (выигрыша или потерь) [принцип Байеса] как единственный критерий для получения решения
Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято лишь на основе всех существенных факторов
Использование данного принципа предполагает многократное решение одной и той же задачи

Математически это утверждение можно доказать следующим образом:
если X – случайная величина,
а М{X} – математическое ожидание X, то при
достаточно большом объеме выборки разница между
выборочным средним и математическим ожиданием
стремится к нулю.
Следовательно, использование данного критерия, допустимо лишь в случае, когда одно и тоже решение приходится принимать достаточно большое число раз
► Вывод !!: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам для решений, которые приходится принимать небольшое число раз

.

ПРИМЕР:
e1 – звонок в метеослужбу
с(e1) = 5
z1 – будет дождь
z2 – возможны осадки
z3 – будет ясно
P(zl/sj) =
=

ПРИМЕР:
φ1 = { (1,2), (2,2),(3,1) },
т.е. φ1 (z1) = d2
и т.д.
φ2 = { (1,2), (2,1),(3,1) },
φ3 = { (1,1), (2,1),(3,1) }
Выпишите ВСЕ варианты решающих функций !

ПРИМЕР:
R(φ,s) =

ПРИМЕР:
R(φ1,s1) = L [φ1(z1)=d2; s1] * P(z1/s1) +
+ L [φ1(z2)=d2; s1] * P(z2/s1) +
+ L [φ1(z3)=d1; s1] * P(z3/s1) =
= (-50)*0,5 + (-50)*0,4 + 100*0,1 = (- 25) + (- 20) + 10 = - 35

ПРИМЕР:
R(φ1,s1) = L [φ1(z1)=d2; s1] * P(z1/s1) +
+ L [φ1(z2)=d2; s1] * P(z2/s1) +
+ L [φ1(z3)=d1; s1] * P(z3/s1) =
= (-50)*0,5 + (-50)*0,4 + 100*0,1 = (- 25) + (- 20) + 10 = - 35

Принцип минимакса
φ *(z) : R(φ*) =
= min max R (φ,s)
φ s

ПРИМЕР :
φ*(z) = φ1
и
φ*(z) = φ2
R(φ*) = 25

Принцип минимального ожидаемого риска
φ * : R(φ*) = min MR (φ), φ
где MR (φk) = ∑ R(φ,s) * P(s),
s
т.е.: MR (φk) =∑R(φ k,sj) * P(sj)
j

ПРИМЕР :
φ*(z) = φ1
R(φ*) = 7

принципы, основанные на использовании апостериорных вероятностей
ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D’ – расчет апостериорных вероятностей

ПРИМЕР

ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D1 – расчет апостериорных вероятностей

ПРИМЕР :
P(z1) = P(z1/s1)*P(s1) + P(z1/s2)*P(s2) =
= 0,5 * 0,3 + 0,1 * 0,7 = 0,15 + 0,07 = 0,22
P(s2/z1) = [P(z1/s2) * P(s2)] / P(z1) =
= 0,1 * 0,7 / 0,22 = 0,32
P(s1/z1) = [P(z1/s1) * P(s1)] / P(z1) =
= 0,5 * 0,3 / 0,22 = 0,68
P(s1/z1) + P(s2/z1) = 1,0 !!

ПРИМЕР (результаты расчета):
Примечание:
Неопределенность относительно
состояний природы может уменьшится,
а может увеличиться!

принципы, основанные на использовании апостериорных вероятностей
ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на основе апостериорных вероятностей
ML^( d, z ) = ∑ L(d, s) * P (s / z)
s
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j
где ML^( d, z ) - ожидаемые потери, рассчитанные на основе апостериорных вероятностей

ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на основе апостериорных вероятностей
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j

ПРИМЕР :

ПРИМЕР :
ML^( d1, z3) = L(d1, s1) * P (s1 / z3) +
+ L(d1, s2) * P (s2 / z3) =
= 100 * 0,08 + 0 * 0,92 = 8

ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на основе апостериорных вероятностей
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j

ПРИМЕР (результаты расчета):

принципы, основанные на использовании апостериорных вероятностей:
- Принцип максимального правдоподобия
- Байесовский принцип – принцип минималь-ного ожидаемого риска, рассчитанного на основе знания апостериорных вероятностей

Принцип максимального правдоподобия:
на основе каждого исхода эксперимента делаются выводы о возможном состоянии природы в соответствии с наибольшей условной вероятностью P(s,z)
При построении решающей функции учитываются наиболее вероятные состояния природы

Принцип максимального правдоподобия:

ПРИМЕР :
P(s/z) s1 s2 max наиболее вероятное состояние
z1 0,68 0,32 0,68 s1 – будет дождь
z2 0,30 0,70 0,70 s2 – будет ясно
z3 0,08 0,92 0,92 s2 – будет ясно
Отсюда решающая функция: z1 → d2 (т.к. будет дождь),
z2 → d1 (т.к. будет ясно),
z3 → d1 (т.к. будет ясно)
т.е φ*(z) = φ2 = {(1,2), (2,1), (3,1)} – оптимистическая стратегия

Байесовский принцип
φ*(z) : ML^ (d*,z) = min ML^ (d*,z)

ПРИМЕР : φ* = φ2 = {(1,2), (2,2), (3,1)} –пессимистическая стратегия

Текст формируется из набора шаблонов. В указанных примерах построенных развёрнутых ответов жирным шрифтом выделены части, определяемые элементами дерева решений.

Что учитывается при принятии решений?

Что учитывается при принятии решений?

Что учитывается при принятии решений?

Признак для определения момента окончания эксперимента

Признак для определения момента окончания эксперимента