Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 1

Цыганов Александр Алексеевич
a2tsy-kaf22@yandex.ru
https://vector.mephi.ru
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Гмурман В.Е.

Зачем?

Датацентр Гуггл. 1000000 процессоров. Выходят из строя. Сколько иметь в запасе?
Гипотеза произойдет

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей применяется для явлений, которые носят массовый характер.
Предметом

Испытание

Комплекс условий G – совокупность условий проведения эксперимента
Каждое осуществление G –

Примеры испытаний

Подбрасывание правильной монеты.
Выбор карты из колоды в 36 листов.
Подбрасывание двух

События

Примеры событий

Вынуть джокера.
Сумма выпавших на двух костях очков равна 1.
Сумма выпавших

Элементарное событие

Реализация может приводить к элементарным событиям, которые неразложимы и не

Примеры событий

Извлечение карты из колоды в 36 листов
Бросок шестигранной игральной кости

Астрагалы,

Свойства событий

Равновозможные (понятие вероятность не определено!)
Реализации симметричны
Совместные/несовместные
могут / не могут

Примеры событий

Выбор черной карты, выбор красной карты.
Выбор карты с картинкой, выбор

Случаи и события

Полная группа элементарных равновозможных событий – случаи
Случай, Шанс
Пространство случаев
в

Примеры случаев

На игральной кости выпало конкретное число очков.
Выбор конкретной карты.

Выпадение орла,

Классическая схема расчета вероятности

Пространство N случаев
Событию А благоприятны M случаев
Вероятность события

Непосредственный подсчет вероятностей

На полке с случайном порядке расставлены 40 книг. Среди

Комбинаторика

Подсчет количества случаев
Свойство сложения
Пусть некоторый объект A можно выбрать n различными

Пример

Брошены три игральные кости. Найти количество следующих событий: а) на каждой

Комбинаторная модель выбора

Из множества E={e1, e2, …en), содержащего n элементов, производится

Сочетания с повторениями

Из множества E={e1, e2, …en), содержащего n элементов, производится

Комбинаторная модель урн

Раскладка шаров по урнам n – урн и k-

Геометрические вероятности

ТВ семинар 1

Пример

ТВ семинар 1

Пространство элементарных событий

в каждом испытании непременно реализуется одно элементарное событие
и ни

Алгебра событий(1)

Суммой А+В, объединением А U В, событий А и В

Алгебра событий(2)

Диаграммы Венна

Примеры операций

А1 – 1-й проводит ток
А2 – 2-й проводит ток
А1+А2
А1*А2

Законы

Распределительный закон А*(В+С)=А*В+А*С А+В*С=(А+В)*(А+С)
Перестановочный закон А+В=В+А А*В=В*А
Закон поглощения А*А=А А+А=А

А*(В+С)=А*В+А*С вывод

Пример

Решение

Аксиоматический подход к определению вероятности

Вероятность любого события неотрицательна: P(A)≥0
Вероятность достоверного события равна 1 Р(U)=1
Вероятность

Теоремы

Доказательство

Условная вероятность

Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В,

Пример

В урне 3 белых 3 черных шара. Найти вероятность последовательного появления

Независимость событий

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) для произвольных событий
Р(АВ)=Р(А)Р)В) для независимых событий

Р(А)>0 P(B)>0

Примеры

P(A)=0,7; P(B)=0,2; P(AB)=0,14 НЕЗАВИСИМЫ
P(A)=0,7; P(B)=0,05; P(A+B)=0,75 А и В зависимы? Р(А)+Р(В)=0,75 ЗАВИСИМЫ

Примеры

Попарная независимость и Независимость в совокупности

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 1≤i

Пример Бернштейна

Тетраэдр. Грани: красная, зеленая, синяя и трехцветная
А –

Теорема умножения вероятностей

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)
Доказательство (по индукции)
1) P(A1A2)=P(A1)P(A2/A1)
2) Пусть P(A1A2…An-1)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An-1/A1A2…An-2) 3) Пусть B=A1A2…An-1, тогда

Примеры

Студент знает 20 вопросов из 25-ти. Найти вероятность того, что студент

Теорема сложения вероятностей

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) для совместных
P(A+B)=P(A)+P(B) для не совместных
Для независимых, а следовательно совместных P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)Р(B)

Теорема сложения вероятностей Доказательство

Примеры

Три лампочки соединены в цепь.
Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит,

Формула полной вероятности

Примеры

Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой

Теорема Байеса

Примеры

Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой