Три подхода к построению множества целых неотрицательных чисел. Часть 1

- Понятие натурального числа и нуля
- Отношения «равно», «меньше», «больше»
- Арифметические

Определение
целого
неотрицательного
числа

Математические понятия, как правило, проходят длительный путь исторического развития.
Первоначально они

При этом понятия не имеют еще строгих определений. Даются расплывчатые приблизительные

Следующий этап в развитии математических понятий наступает, когда место наглядных рассмотрений

При аксиоматическом построении какой-нибудь теории поступают так:

Выбирают некоторые объекты, изучаемые теорией,

Вслед за основными понятиями и отношениями формулируются основные предложения, их называют

Система аксиом должна быть:
а) непротиворечивой, т.е. мы должны быть уверены,

Аксиоматическое определение натурального числа

Как и все математические понятия, натуральные числа возникли

Наука, которая изучает числа и действия над ними, получила название «арифметика»

Известными также считаются понятия множества и другие теоретико-множественные понятия, а также

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а´

Отношение «непосредственно следовать

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее

Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано

Пример:
Является ли множество, изображенное на рисунке, моделью системы аксиом Пеано?

Отношение «непосредственно предшествовать»
Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом

Множество целых неотрицательных чисел
Обозначают Z0 или N0
N0 = N ∪ {0}
0,

Те свойства отношения «непосредственно следовать за, которые отражены в аксиомах 1

Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение ранее изученного

Упражнения.
Покажите, что множество целых неотрицательных чисел является моделью системы аксиом

Счет
Порядковые и количественные натуральные числа

Теоретико-множественный подход

1

2

3

4

5

6

Требования, соблюдаемые при счете:
первому отмеченному предмету ставится в соответствие число

Сущность счета заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между множествами, подлежащими

Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального

Множество А называется конечным, если существует взаимно однозначное отображение этого множества

Множество А равномощно только одному отрезку натурального ряда Nа, и поэтому

Пример: Множество А = {а, b, с} можно взаимно однозначно отобразить

Существует много нумераций одного и того же множества:

b → 1
c →

При пересчете элементы конечного множества расставляются в определенном порядке, а также

Определение
С теоретико-множественных позиций натуральное число рассматривается как число элементов конечного множества

Рассмотрим множества А и В

N4 = {1, 2, 3, 4}

n(А)

Следующие предложения равносильны:
- Множествам А и В соответствует одно и то

Так как одному и тому же конечному множеству может соответствовать лишь

Количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств

Упражнения
1) Запишите все элементы множества: N7, N11, N14.
2) Какие из указанных

5) Приведите примеры класса множеств, соответствующих натуральному числу: а) 5, б) 10,

9) Докажите, что множество А – конечное, если:
а) А – множество

Натуральное число как результат измерения величин

Натуральные числа используют не только для

Считают, что отрезок а разбит на отрезки (состоит из отрезков) а1,

Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е и назовем его единичным

mе1(а) = 12 или а = 12 е1

mе2(а) = 6

Натуральное число как мера отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных

Натуральное число – это элемент множества Ν, на котором задано отношение