Уравнения следствия

множества их корней совпадают.

Уравнения f₂(x)= g₂(x) называется следствием уравнения f₁(x)= g₁(x),
если каждый корень уравнения f₁(x)= g₁(x)
является одновременно и корнем уравнения
f₂(x)= g₂(x).

Если 2 уравнения равносильны, то можно сказать так:
каждое из них является следствием другого.

(1) преобразуют в уравнение (2) более простое и т.д. по цепочке.

В этот момент и возникает главный вопрос: а будут ли найденные корни корнями исходного уравнения?
Ответ на поставленный вопрос неопределён: может быть и да и нет? Чтобы ответ на поставленный вопрос был определённым, надо найденные корни последнего уравнения проверить, подставив их поочерёдное в заданное уравнение (1).

Если такая подстановка показывает, что найденный корень последнего уравнения не удовлетворяет исходному уравнению, он называется ПОСТОРОННИМ и отбрасывается.

цепочки превращений по схеме: (1)→(2)→(3)→(4)→…
и отыскивание корней последнего (самого простого) уравнения этой цепочки.

2)Анализ решения, т.е. получение ответа на вопрос:
всё ли преобразования были равносильными?

3)Проверка найденных корней последнего уравнения цепочки их подстановкой в исходное уравнение в случае,
если анализ, проведённый на 2-м шаге, покажет, что на все преобразования были равносильными.

ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

2) В каких случаях в результате преобразований мы переходим от уравнения к уравнению-следствию?

3) Как делать проверку, если это сопряжено со значительными вычислительными трудностями?

4) В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти «потеря корней» и как этого не допустить?

«спокойные», которые всегда «работают» и не причиняют тем, кто их используют, никаких неприятностей.
Т1: Если какой-нибудь член, уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным равносильное данному
a+b=c+d; a+b-c=d.
Т2: Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение равносильное данному.
f₁(x)=g₁(x); (f₁(x))²ᵏ⁺¹=(g₂(x))²ᵏ⁺¹
Т3: Уравнение aᶠ⁽ ͯ⁾ =aᶢ⁽ ͯ⁾, где a›0, a≠1 равносильно уравнению f(x)=g(x).

условиях, и поэтому требуют внимания от тех, кто их применяет.
Т4: Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение b(x), которое:
А) имеет смысл всюду в области определения уравнения f(x)=g(x).
Б) нигде в этой области не превращается b 0, то получится уравнение f(x)b(x)=g(x)b(x), равносильное данному.
СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т4:
Ещё одно «спокойное» преобразование: если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля число c, то получится уравнение равносильное данному.
Т5: Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в О.О.У., то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, получится уравнение (f(x))ⁿ=(g(x))ⁿ, равносильное данному.

решения уравнения применялась одна из теорем-4 или 5, не проверив выполненных в формулировках теорем, то получится уравнение - следствие.
Например, уравнение x-1=3 имеет 1 корень 4. Умножив обе его части на (x-2), получим уравнение-следствие (x-1)(x-2)=3(x-2), имеющие 2 корня: 4 и 2, причем 2-посторонний корень для уравнение x-1=3.
Подведём промежуточный итог:

проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.
Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.