Векторная алгебра (1 часть). Векторы на плоскости и в пространстве

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Векторная алгебра (1 часть). Векторы на плоскости и в пространстве

Содержание

2. 1. Векторы на плоскости и в пространстве Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) – это
3. Модулем вектора (длиной вектора) называется длина отрезка : Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и
4. Ненулевые векторы называются равными: , если: 1) они лежат на одной прямой или на параллельных прямых;
5. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В противном
6. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях. В противном
7. ! Если хоть один из векторов нулевой вектор, то эти векторы компланарны. ! Множество всех свободных
8. 2. Линейные операции над векторами Пусть - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и приложим
9. Разность векторов обозначается и определяется как сумма вектора и противоположного вектора .
10. Произведение вектора на число λ называется вектор, длина которого равна числу и который имеет направление вектора
11. 3. Свойства линейных операций над векторами 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
12. 4. Разложение векторов на плоскости Теорема: Пусть векторы и − неколлинеарные, векторы - компланарные. Тогда найдутся
13. Докажем единственность. Предположим, что разложение не единственно, тогда: (хотя бы одно из неравенств и выполнено)
14. 5. Разложение векторов в пространстве Теорема: Пусть векторы − некомпланарные. Тогда найдутся такие постоянные , что
15. 6. Базис и линейная комбинация векторов Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в
16. Если - базис в пространстве и , то числа α, β и γ - называются компонентами
17. Если - некоторая система векторов пространства R ( , или ), тогда любой вектор вида называется
18. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно αi
20. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Векторы на плоскости и в пространстве
Вектор (в пространстве, на

плоскости, на прямой) – это направленный отрезок, т.е. отрезок AB, у которого одна из ограничивающих его точек A принимается за начало, а вторая B – за конец.

Слайд 3

Модулем вектора (длиной вектора) называется длина отрезка :
Нулевым вектором

называется вектор, у которого начало и конец совпадают.
! Направление нулевого вектора не определено.

Слайд 4

Ненулевые векторы называются
равными: , если:
1) они лежат на одной прямой

или на параллельных прямых;
2) имеют одинаковые длины ( ) и одинаково направлены.
! Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

Слайд 5

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной

прямой или на параллельных прямых. В противном случае, они называются неколлинеарными.
! Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору и каждый вектор коллинеарен самому себе.
! Вектор называется коллинеарным прямой l, если этот вектор лежит либо на прямой l, либо прямой, параллельной l.

Коллинеарные векторы

Неколлинеарные векторы

Слайд 6

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной

плоскости или на параллельных плоскостях. В противном случае, они называются некомпланарными.

Компланарные векторы Некомпланарные векторы

Слайд 7

! Если хоть один из векторов нулевой вектор, то эти

векторы компланарны.
! Множество всех свободных векторов на прямой будем обозначать , на плоскости - , в пространстве - .
! Вектор равный исходному по длине и имеющий противоположное направление называется противоположным вектором.

Слайд 8

2. Линейные операции над векторами

Пусть - два произвольных вектора. Возьмем

произвольную точку О и приложим вектор к этой точке, получим .
Затем отложим от точки А вектор , получим . Вектор называется суммой векторов .
Правило параллелограмма

Правило треугольника

Слайд 9

Разность векторов обозначается и определяется как сумма вектора и

противоположного вектора .

Слайд 10

Произведение вектора на число λ называется вектор, длина которого равна

числу и который имеет направление вектора , если λ>0, и противоположное направление ( ), если λ < 0.
Обозначается: .
Если λ = 0 или , то .

Слайд 11

3. Свойства линейных операций над векторами
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Слайд 12

4. Разложение векторов на плоскости
Теорема: Пусть векторы и − неколлинеарные, векторы

- компланарные. Тогда найдутся такие постоянные и ,что
Такое разложение единственное.
Доказательство:

Слайд 13

Докажем единственность.
Предположим, что разложение не единственно, тогда:

(хотя бы

одно из неравенств
и выполнено)

Слайд 14

5. Разложение векторов в пространстве

Теорема: Пусть векторы − некомпланарные.
Тогда найдутся

такие постоянные ,
что любой вектор можно записать в виде
(разложить по векторам ).
Такое разложение единственное.

Слайд 15

6. Базис и линейная комбинация векторов

Базисом в пространстве называются

любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Слайд 16

Если - базис в пространстве и , то числа α,

β и γ - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

Свойства:
1. Равные векторы имеют одинаковые координаты.
2. При умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число:
3. При сложении векторов складываются их соответствующие компоненты:

Слайд 17

Если - некоторая система векторов пространства R ( , или

), тогда любой вектор вида называется линейной комбинацией векторов
некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
! Если какой-либо вектор представляется в виде линейной комбинации некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Слайд 18