Векторный и тензорный анализ

Июль 24, 2022

Главная
Математика
Векторный и тензорный анализ

Содержание

2. построим график функции в евклидовом пространстве (x=-25..25,y=-25..25), сферической (x=-1..1,y=-1..1) и в цилиндрической системах координат (x=-5..5,y=-5..5). в
3. В сферической системе координат В цилиндрической системe координат
4. построим график функции в евклидовом пространстве, сферической цилиндрической системах координат в евклидовом пространстве
5. В сферической системе координат В цилиндрической системe координат
6. векторы Свободный вектор - это направленный отрезок, который можно переносить в пространстве параллельно его первоначальному положению.
7. Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма
8. Сложение более двух векторов
9. Разность векторов
10. Умножение вектора на число Произведением вектора Х на действительное число называется вектор У такой, что: Его
11. Свойства операций Сложение векторов и умножение вектора на число обладают следующими свойствами. 1. 2. З. Существует
12. Линейные пространства множества элементов, на которых определены эти операции будем называть линейными (или векторными) пространствами и
13. 2)Совокупность векторов, лежащих в одной плоскости, также оказывается замкнутой по отношению к сложению и умножению на
14. Рассмотрим множество, элементом которого является упорядоченная совокупность действительных чисел: Определим сложение элементов х и и умножение
15. Подпространства Подпространством линейного пространства называется непустое (т. е. содержащее хотя 6ы один вектор) подмножество векторов из
16. Суммой двух линейных подпространств и линейного пространства L называется совокупность всех векторов из L, каждый из
17. Пересечением двух линейных подпространств и линейного пространства L называется совокупность всех векторов из L, каждый из
18. Линейная зависимость векторов Пусть а, b, ..., е векторы линейного векторного пространства L и — действительные
19. Но может быть и так, что существует линейная комбинация векторов а, b, ..., е, у которой
20. свойства линейно зависимых векторов а) Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен
21. примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства а) Нулевой вектор 0 является линейно зависимым, так
22. Размерность и базис линейного пространства Размерностью линейного пространства называется наибольшее число имеющихся в нем линейно независимых
23. На плоскости существуют два линейно независимых вектора, но любые три вектора линейно зависимы. Поэтому плоскость является
24. В линейном пространстве, элементами которого являются векторы n линейно независимых векторов Но любые n + 1
25. Любой вектор х может быть, и притом единственным образом, представлен в виде линейной комбинации линейно независимых
26. В частности, на прямой любой вектор х может быть представлен в виде где - произвольный отличный
28. Скачать презентацию

Слайд 2

построим график функции в евклидовом пространстве (x=-25..25,y=-25..25), сферической (x=-1..1,y=-1..1) и в

цилиндрической системах координат (x=-5..5,y=-5..5).

в евклидовом пространстве

Слайд 3

В сферической системе координат
В цилиндрической системe координат

Слайд 4

построим график функции в евклидовом пространстве, сферической цилиндрической системах координат
в евклидовом

пространстве

Слайд 5

В сферической системе координат
В цилиндрической системe координат

Слайд 6

векторы
Свободный вектор - это направленный отрезок, который можно переносить в пространстве

параллельно его первоначальному положению.
Обычно такие векторы обозначают буквами латинского алфавита:
Для простоты можно считать; что все эти векторы имеют общую начальную точку; которую мы обозначим буквой О и назовем началам координат.

Слайд 7

Сложение векторов
Правило треугольника Правило параллелограмма

Слайд 8

Сложение более двух векторов

Слайд 9

Разность векторов

Слайд 10

Умножение вектора на число
Произведением вектора Х на действительное число называется вектор У

такой, что:
Его длина
Вектор У коллинеарен вектору Х и имеет с ним одинаковое направление, если
и противоположное, если

Слайд 11

Свойства операций
Сложение векторов и умножение вектора на число обладают следующими

свойствами.
1. 2.
З. Существует нулевой вектор 0 такой, что
4. Для каждого вектора х существует противоположный вектор такой, что
6.
7. 8.

Слайд 12

Линейные пространства
множества элементов, на которых определены эти операции будем называть линейными

(или векторными) пространствами и обозначать их буквой L. Элементы таких пространств будем называть векторами.
Рассмотрим несколько примеров.
а) Совокупность векторов, лежащих на одной прямой, образует линейное пространство, так как сложение и умножение таких векторов на действительное число приводит нас снова к векторам, лежащим на этой пряной, и свойства 1- 8 выполняются. Обозначим такое линейное пространство через

Слайд 13

2)Совокупность векторов, лежащих в одной плоскости, также оказывается замкнутой по отношению

к сложению и умножению на действительное число; свойства 1 -8 для них выполняются, и поэтому эта совокупность образует линейное пространство, которое мы обозначим через
3) Совокупность всех векторов пространства также является линейным пространством. Обозначим его через

Слайд 14

Рассмотрим множество, элементом которого является упорядоченная совокупность действительных чисел:
Определим сложение

элементов х и
и умножение элемента х на действительное число
с помощью равенств
Такое множество элементов образует линейное пространство, так как определенные в нем операции сложения и умножения на число обладают, всеми восемью указанными выше свойствами этих операций. Например, нулевым вектором в этом пространстве будет вектор 0 = {0,0,....0}. а вектором -х -вектор
Будем обозначать это пространство через

Слайд 15

Подпространства
Подпространством линейного пространства называется непустое (т. е. содержащее хотя 6ы один

вектор) подмножество векторов из L, которые сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в операций сложения и умножения на число, т. е. такое подмножество , для которого из того, что,
следует, что
Простейшими подпространствами пространства являются подпространство, состоящее из одного нулевого элемента (нулевое подпространство), и все пространство . Эти подпространства называются несобственными.

Слайд 16

Суммой двух линейных подпространств
и линейного пространства L называется
совокупность
всех векторов

из L, каждый из которых представляется в виде
где,

Слайд 17

Пересечением двух линейных подпространств
и линейного пространства L называется
совокупность
всех

векторов из L, каждый из которых
принадлежит как , так и

Слайд 18

Линейная зависимость векторов
Пусть а, b, ..., е векторы линейного векторного

пространства L и
— действительные числа.
Вектор
называется линейной комбинацией векторов а, b, ..., е, а числа -коэффициентами этой линейной комбинации.
Если , то х = О.

Слайд 19

Но может быть и так, что существует линейная комбинация векторов а,

b, ..., е, у которой не все коэффициенты равны нулю, но которая тем не менее равна нулю. В этом случае векторы а, b, ..., е называются линейно зависимыми. Иначе говоря, эти векторы будут линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа
не все равные нулю, что
Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа равны нулю, то векторы а, b, ..., е называются линейно независимыми.

Слайд 20

свойства линейно зависимых векторов
а) Если векторы линейно зависимы, то один

из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.
б) Если некоторые из векторов а, b, с, ..., е линейно зависимы, то и вся эта система векторов линейно зависима.
в) Если среди векторов а, b, с, ..., е имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Пусть, например, а = О. Тогда

Слайд 21

примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства
а) Нулевой вектор

0 является линейно зависимым, так как при любом
б) Любой вектор будет линейно независимым, так как только при а=0
в) Два коллинеарных вектора а и b линейно зависимы.
г) Два неколлинеарных вектора линейно независимы.
д) Три компланарных вектора линейно зависимы.
е) Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы.
ж) Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

Слайд 22

Размерность и базис линейного пространства
Размерностью линейного пространства называется наибольшее

число имеющихся в нем линейно независимых векторов.
Например, на прямой существует один линейно независимый вектор, а любые два вектора линейно зависимы. Следовательно, прямая представляет собой одномерное линейное пространство. Мы обозначили его . Здесь нижний индекс как раз означает размерность пространства.

Слайд 23

На плоскости существуют два линейно независимых вектора, но любые три вектора

линейно зависимы. Поэтому плоскость является двумерным пространством и обозначается через
В пространстве существуют три линейно независимых вектора, а любые четыре вектора линейно зависимы. Поэтому размерность пространства равна трем, и мы обозначили его через

Слайд 24

В линейном пространстве, элементами которого являются векторы
n линейно независимых векторов

Но любые n + 1 векторов этого пространства будут линейно зависимыми. Следовательно, размерность этого пространства равна n, и обозначается оно поэтому через

Слайд 25

Любой вектор х может быть, и притом единственным образом, представлен в

виде линейной комбинации линейно независимых векторов
Совокупность этих векторов называется базисом n-мерного линейного пространства, а числа - координатами вектора x в этом базисе. Любые n линейно независимых векторов могут быть приняты за базис пространства

Слайд 26

В частности, на прямой любой вектор х может быть представлен в

виде
где - произвольный отличный от нуля вектор этой прямой.
На плоскости вектор х может быть представлен в виде
где и — любые два неколлинеарных вектора этой плоскости.
В трехмерном пространстве любой вектор х может быть представлен в виде
где -любые три некомпланарных вектора пространства.

Векторный и тензорный анализ

Содержание

построим график функции в евклидовом пространстве (x=-25..25,y=-25..25), сферической (x=-1..1,y=-1..1) и в

В сферической системе координатВ цилиндрической системe координат

построим график функции в евклидовом пространстве, сферической цилиндрической системах координатв евклидовом

В сферической системе координатВ цилиндрической системe координат

векторыСвободный вектор - это направленный отрезок, который можно переносить в пространстве

Сложение векторовПравило треугольника Правило параллелограмма

Сложение более двух векторов

Разность векторов

Умножение вектора на числоПроизведением вектора Х на действительное число называется вектор У

Свойства операций Сложение векторов и умножение вектора на число обладают следующими

Линейные пространствамножества элементов, на которых определены эти операции будем называть линейными

2)Совокупность векторов, лежащих в одной плоскости, также оказывается замкнутой по отношению

Рассмотрим множество, элементом которого является упорядоченная совокупность действительных чисел: Определим сложение

ПодпространстваПодпространством линейного пространства называется непустое (т. е. содержащее хотя 6ы один

Суммой двух линейных подпространств и линейного пространства L называетсясовокупность всех векторов

Пересечением двух линейных подпространств и линейного пространства L называетсясовокупность всех

Линейная зависимость векторов Пусть а, b, ..., е векторы линейного векторного

Но может быть и так, что существует линейная комбинация векторов а,

свойства линейно зависимых векторов а) Если векторы линейно зависимы, то один

примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства а) Нулевой вектор

Размерность и базис линейного пространства Размерностью линейного пространства называется наибольшее

На плоскости существуют два линейно независимых вектора, но любые три вектора

В линейном пространстве, элементами которого являются векторы n линейно независимых векторов

Любой вектор х может быть, и притом единственным образом, представлен в

В частности, на прямой любой вектор х может быть представлен в

Похожие презентации

В сферической системе координат
В цилиндрической системe координат

построим график функции в евклидовом пространстве, сферической цилиндрической системах координат
в евклидовом

В сферической системе координат
В цилиндрической системe координат

векторы
Свободный вектор - это направленный отрезок, который можно переносить в пространстве

Сложение векторов
Правило треугольника Правило параллелограмма

Умножение вектора на число
Произведением вектора Х на действительное число называется вектор У

Свойства операций
Сложение векторов и умножение вектора на число обладают следующими

Линейные пространства
множества элементов, на которых определены эти операции будем называть линейными

Рассмотрим множество, элементом которого является упорядоченная совокупность действительных чисел:
Определим сложение

Подпространства
Подпространством линейного пространства называется непустое (т. е. содержащее хотя 6ы один

Суммой двух линейных подпространств
и линейного пространства L называется
совокупность
всех векторов

Пересечением двух линейных подпространств
и линейного пространства L называется
совокупность
всех

Линейная зависимость векторов
Пусть а, b, ..., е векторы линейного векторного

свойства линейно зависимых векторов
а) Если векторы линейно зависимы, то один

примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства
а) Нулевой вектор

Размерность и базис линейного пространства
Размерностью линейного пространства называется наибольшее

В линейном пространстве, элементами которого являются векторы
n линейно независимых векторов