Вступ до математичного аналізу. Поняття функції однієї змінної. Методи побудови графіків функцій без використання похідної

Функції попиту, пропозиції, витрат, доходу.

Найбільш поширеними серед них є функції попиту, пропозиції, витрат, доходу.

Графік залежності попиту від ціни називають кривою попиту.

Залежність ціни від попиту можна виразити оберненою функцією

p =φ (Qd ) яку називають функцією цін попиту.

- сумарний виторг (загальний дохід) продавця

Графік залежності між кількістю запропонованих на ринок товарів і ціною називають кривою пропозиції.

Оберненою до цієї функції є функція цін пропозиції

де Q - обсяг продукції, С – сумарні витрати виробництва,

FC - (fixed costs) - постійні витрати,

VC(Q) -(variable costs) - змінні витрати,

TC( Q) - (total costs) - загальні витрати.

Крива доходу показує в графічному вигляді величину доходу при кожному значенні ціни на товар.

Функція доходу – залежність доходу підприємства від вартості виробленої продукції:

R=R(p), або R=R(Q)

Тоді

,

- загальний (валовий) дохід (total revenue)

- прибуток (profit)

- середній дохід (average)

Множина це сукупність об’єктів, що об’єднані деякою спільною ознакою.
Позначення : А, В, …

Об’єкти, з яких складається дана множина називають її елементами.
Позначення : а, b, …

Приклад 1

Множина підприємств, множина чисел.

Приклад 2
множина підприємств – скінченна;
множина натуральних чисел – нескінченна.

Множину вважають заданою, якщо вказано ознаку, за якою можна визначити, належить будь-який елемент цій множині чи ні.

Позначення : А В

Приклад 4
Множина студентів КНТЕУ (А ) є підмножиною множини студентів України (В).

В

А

Позначення : А = В.

Зрозуміло, що якщо А В, В А то А = В.

Синоніми терміна «множина»: система, сукупність, клас, область

Основні числові множини, які використовують мають загальноприйняті позначення:

N ={1,2,3,… }- множина натуральних чисел;
Z = { … -1, -2, -3, 0, 1, 2, … } -множина цілих чисел;

R = {a,b1b2b3…. | a ,b1b2b3 {0,1,2, …9}- множина дійсних чисел

Зрозуміло, що N Z Q R.

Між множиною дійсних чисел та множиною точок на числовій осі існує взаємно-однозначна відповідність. Тому в подальшому поняття число і точка будуть ототожнюватись і замість слова число будемо казати точка.

е = 2,71828…..(число Ейлера) – дійсні числа

=3,14159…..(число пи)

π

1)[a; b]-відрізок, 2) (a; b)-інтервал, 3) [a; b) чи (a; b]- півінтервал, 4) окіл точки (чи числа) х0.

Окіл точки х0 - це довільний інтервал (х0 -δ , х0 +δ) що містить точку х0

x

х0 +δ

х0

х0 -δ

δ- окіл т. х0

Позначення :

y =f (x), y =F(x), y =φ (x)

і т. ін.

x Х (область визначення) ; y Y (область значень);
f, F, φ-правило або закон за яким значенню х відповідає значення у.

Функціональна залежність зображується лінією.

або

В результаті

і

тобто

Приклад 9
а) y = sin2x –складна функція де

f (u)- “піднесення до квадрату функції sin x”;
u= g(x) = sin x- проміжна функція;

f(u) –показникова функція,
u= g(x) = sin(x) – проміжна функція.

б)

Складна функція.

в) y = arctg(lg(x+2))

y=arctg(u), де u=lg(v) , де v=x+2.

Основні елементарні функції

Елементарні функції

трансцендентні

y= xn ,( n-дійсне число) -
степенева функція

y=logax, a≠1, a > 0;
усі тригонометричні
функції;
y= ax , a≠1, a>0

a) y = f(-x) необхідно побудувати лінію, симетричну лінії y= f(x) відносно вісі OY.

0 1 2 3

-3 -2 -1 0

0 1 2

відносно бісектриси I-го III–го координатних кутів

I

III