Введение в математический анализ. Вебинар 2. Теория множеств. Математическая логика

План занятия:

Введение в теорию множеств
Описание множеств
Операции над множествами
Примеры множеств
Введение в математическую

Любая научная дисциплина требует теории для её изучения. Для математического анализа

Свойства любой научной теории

Теорию невозможно доказать или опровергнуть: это набор аксиом,

То есть рано или поздно любая теория приводит к противоречиям внутри

Теория множеств

Теория множеств

Топливом для развития теории множеств послужила необходимость исследования бесконечности, главным

Понятие множества принадлежит к числу простейших математических понятий и не имеет

Описание множеств

Теория множеств

Множество обозначают заглавными латинскими буквами (A)
Его элементы строчными латинскими

Описание множеств

Теория множеств

Множество обозначают заглавными латинскими буквами (A)
Его элементы строчными латинскими

Множество натуральных чисел можно задать так:
Множество целых чисел можно задать так:
Множество

Можно ли описать множество четных и нечетных чисел?

Теория множеств

Можно ли описать множество четных и нечетных чисел?

Теория множеств

{2n | n∈Z}={...,-4,-2,0,2,4,6,...}
{2n+1

Можно ли описать множество простых чисел?

Теория множеств

Можно ли описать множество простых чисел?

Теория множеств

Нет

Примеры множеств

Примеры множеств

Множество вещественных чисел:

R – числовая ось.
(помимо рациональных чисел включает числа, которые

где — мнимая единица.

Примеры множеств

Комплексные
числа:

где — мнимая единица.

Примеры множеств

Re - real
Im - imaginary

Re

Im

Комплексные
числа:

Примеры множеств

Комплексные
числа:

Источник: math24.ru/

Примеры множеств

Комплексные
числа:

Два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних

В рамках рассматриваемой математической теории вводят два исключительных множества:
Пустое множество

Операции над множествами

Операции над множествами

Дополнение. Для любого множества ?⊂? определим дополнение
Например, в множестве вещественных чисел

Объединение. Для любых двух множеств ?,?⊂? определим объединение
Значок ∨ внутри фигурной

Пересечение. Для любых двух множеств ?,?⊂? определим пересечение
Значок ∧ внутри фигурной

Разность. Для любых двух множеств ?,?⊂? определим разность
Например, разность отрезков [1,3]

Симметрическая разность. Для любых двух множеств ?,?⊂? определим симметрическую разность
Значок ⊕

Реализация на Python

Операции над множествами

Операции над множествами

Реализация на Python

Операции над множествами

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Множества. Рациональные числа

Математическая логика

Математическая логика

Математическая логика

Логика высказываний рассматривает и решает вопрос об истинности или ложности

Высказыванием называется повествовательное предложение, про которое всегда определенно можно сказать, является

Математическая логика

Пример 1. Предложение «Сдать зачет по математике можно, зная блестяще

Способы работы с выражениями

С помощью таблицы истинности.
С помощью основных законов логики

Логические операции и таблицы истинности

Теория множеств

Логические операции и таблицы истинности

Таблица истинности для конъюнкции (логическое умножение) A⋂B

и

Логические операции и таблицы истинности

Таблица истинности для дизъюнкции A⋃B

или

Логические операции и таблицы истинности

Логическое отрицание или инверсия: Ā

К исходному логическому

Логические операции и таблицы истинности

Логическое следование или импликация: A - условие;

Логические операции и таблицы истинности

Логическое следование или импликация: A - условие;

Логические операции и таблицы истинности

Логическая равнозначность или эквивалентность: A↔B

тогда и только
тогда

Логические операции и таблицы истинности

Логическая равнозначность или эквивалентность: A↔B

A = B

тогда и

Логические операции и таблицы истинности

Исключающее или: A ⊕ B

Логические операции и таблицы истинности

Исключающее или: A ⊕ B

A != B

Пример 2. Предложение «Если Сувар или Таиф проиграют, а Феникс выиграет

Если истинное значение простых переменных P, Q, R, D, C соответственно

Таблица истинности

Логические операции и таблицы истинности

Пример 3. Доказать, что при любых

Свойства и признаки

Свойства и признаки

Свойства и признаки

Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал:

Свойства и признаки

Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал:

Свойства и признаки

Предпосылка Дениса:
«У всех великих людей был плохой почерк»
(этому пока

Свойства и признаки

Если человек
великий
(А)

У него
плохой почерк
(B)

Согласно утверждению Дениса, плохой

Свойства и признаки

Можно привести много верных математических утверждений, обратные к которым неверны.

Законы логики высказываний

Коммутативность конъюнкции: A ⋂ B = B ⋂ A
Коммутативность

Закон де Моргана относительно конъюнкции: (A ⋂ B) = Ā ⋃

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Законы логики высказываний

Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
A ⋃ (B ⋂ C) =

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Законы логики высказываний

Закон де Моргана относительно конъюнкции:
(A ⋂ B) =

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Законы логики высказываний

Закон поглощения конъюнкции:
A ⋂ (A ⋃ B) =

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Законы логики высказываний

Ассоциативность дизъюнкции:
A ⋃ (B ⋃ C) = (A

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Законы логики высказываний

Закон исключения третьего:
A ⋃ Ā = “И”

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Законы логики высказываний

A ⋃ “Л” = A, A ⋃ “И” =

Законы логики высказываний

Пример 4. Упростить высказывание:
(A ⋃ (A ⋂ B)) ⋃

Кванторы

Высказывания с кванторами

Всеобщности (∀) (читается «для любого»)
Существования (∃) (читается «существует»)

Отрицания высказываний

Высказывания с кванторами

Пример построения отрицания

Высказывания с кванторами

Квантор меняется на противоположный (∀↔∃).
Принадлежность множеству сохраняется.
Перед логическим сказуемым ставится «не».

Пример

Пара интересных примеров на логику

Пример 1
За книгу заплатили 100р. и еще

Пример 1
За книгу заплатили 100р. и еще половину своей стоимости. Сколько

Пример 2
За книгу заплатили 100р. и осталось заплатить еще столько, сколько

Пример 1
За книгу заплатили 100р. и осталось заплатить еще столько, сколько

И еще пример!
Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Представьте,

И еще пример!
Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Представьте,

Спасибо

Множества и логика

Про домашнее задание
Как надо:

Множества и логика