Вычисление объемов тел вращения. Применение интеграла

Июль 24, 2022

Главная
Математика
Вычисление объемов тел вращения. Применение интеграла

Содержание

2. У х y=f(x) O Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a;
3. У х y=f(x) O Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления
4. Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а основанием является сечение -
5. Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x)∙ Δx , а объем всего
6. Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ: Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x)
7. Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела
8. Задача. Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела
9. x Рассмотрим конус и найдём его объём y h O r
10. x Рассмотрим усечённый конус и найдём его объём y h O R r
11. *** Найдите объём тела, если его поверхность получена вращением фигуры образованной графиками функций:
12. Вычисление определённых интегралов
14. Скачать презентацию

Слайд 2

У
х
y=f(x)
O
Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке

[a; b], тогда график кривой у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию.
Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем.

Постановка задачи

Слайд 3

У
х
y=f(x)
O
Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку

деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений.

Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. Радиус круга равен значению функции в хс
Площадь этого круга – S(x) = π· f 2 (xс)

Слайд 4

Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а

основанием является сечение - круг.

Радиус круга равен значению функции в хс
Площадь этого круга –
S(x) = π f 2 (xс)
Объём цилиндра –
V=S(x)∙ Δx

y=f(x)

f(xс)

xс

Слайд 5

Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x)∙

Δx , а объем всего ступенчатого тела равен сумме объёмов всех цилиндров.

Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу непрерывности функции S(x), при n → ∞ называется объемом заданного тела и равен определенному интегралу:

Слайд 6