Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 1 семестр

Литература

Дымков М.П., Конюх А.В., Майоровская С.В., Петрович В.Д., Рабцевич В.А. Высшая

Тема 1: Элементы линейной алгебры

§1. Матрицы

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра

ОПР. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел (или других математических

Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы: – элемент, принадлежащий i-й строке

Например, матрица A
имеет размерность

Матрица B
имеет размерность

число строк

число столбцов

Пример
Элемент

ОПР. Матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если равны

Пример

Дано:

Указать размерность данных матриц. Имеются ли среди данных матриц равные?

ОПР. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. Обозначается
В

Матрица размерности m×1 называется матрицей-столбцом.
Матрица размерности 1×n называется матрицей-строкой.
Пример.

ОПР. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы на главной диагонали

1.2. Операции над матрицами

К линейным операциям над матрицами относятся сложение и

ОПР. Суммой (разностью) двух матриц
и
называется такая матрица
что

Пример

Найти A+B, A+C, B+C, если это возможно.

Существует сумма B+C:

ОПР. Произведением матрицы на число (или числа на матрицу A) называется

Пример

ОПР. Произведением матриц
и
называется матрица C размера такая, что

Операция умножения двух матриц определяется только для случая, когда число столбцов

Пример

Найти произведения матриц AB и BA (если это возможно):

Пример

Найти произведения матриц AB и BA (если это возможно):

ОПР. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с

Свойства

Элементарные преобразования матриц

Перестановка местами двух рядов матрицы;
Умножение всех элементов ряда матрицы

ОПР. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из

§2. Определители

Любой квадратной матрице n-го порядка A можно поставить в соответствие

Определителем квадратной матрицы 2-го порядка
называется число, равное
обозначаемое символом

Пример

Вычислить определитель
1.
2.

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка
называется число

Пример

Вычислить определитель:

Решение.

ОПР. Минором элемента
квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель (n-1)-го

Пример

В матрице
минором элемента является
минором элемента является

Алгебраическое дополнение элемента

§3. Обратная матрица

Пусть A — квадратная матрица n-го порядка.
ОПР. Квадратная

ОПР. Матрицей, присоединенной к матрице называется матрица
где — алгебраическое дополнение элемента

Матрица имеет те же размеры, что и матрица A.
Теорема 1. Всякая

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы.
Если , то

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и из них составляем

Пример

Вычислить обратную матрицу для матрицы
Решение. Найдем определитель:
Обратная матрица существует.

Присоединенная матрица имеет вид:
Тогда обратная матрица:

Проверка:

§4. Матричные уравнения

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей X записываются

Если в уравнениях
матрица A невырожденная, то их решения записываются

Пример

Решить матричное уравнение:
Решение. Запишем данное матричное уравнение в виде . Его

Значит, обратная матрица существует, и исходное уравнение имеет единственное решение.
Запишем решение

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера m×n. Выделим в ней k строк