Случайные величины и функции распределения (лекция 1)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Случайные величины и функции распределения (лекция 1)

Содержание

2. Основные задачи и темы курса Цели и задачи курса «Математические методы обработки гидрологической информации» Случайные величины
3. Случайные величины Большое число факторов, влияющих на гидрологические характеристики – одно из обоснований для обработки гидрологических
4. Закон распределения случайной величины Закон распределения СВ задан, если: указано множество возможных значений СВ указан способ
5. Интегральная функция распределения F(x) Интегральная функция распределения F(x) СВ X показывает вероятность того, что СВ не
6. Интегральная функция распределения F(x) Вероятность того, что значение СВ Х заключено между х1 и х2 равно
7. Функция обеспеченности P(х) В гидрологической практике вместо функции F(x) часто используется функция обеспеченности P(х), но с
8. Свойства интегральной функции распределения F(x) и функция обеспеченности P(х)
9. Дифференциальная функция распределения вероятностей Если функция распределения F(x) дифференцируема для всех значений СВ Х, то закон
10. Свойства функции плотности вероятности f(x) С помощью дифференциальной функции распределения можно вычислить вероятность попадания СВ с
11. Вычисление вероятности попадания СВ в заданную область с помощью дифференциальной функции распределения
12. Дискретные и непрерывные случайные величины Дискретная СВ – это СВ, которая принимает только конечные или счетное
13. Ряд распределения СВ Интегральная функция распределения F(x) дискретной СВ не дифференцируема. Поэтому вместо функции плотности вероятности
14. Числовые характеристики случайных величин. Мода Мода, медиана, математическое ожидание - это параметры, характеризующие положение центра распределения.
15. Медиана Медианой Ме непрерывной СВ Х называется такое ее значение, при котором Можно сказать, что Ме
16. Математическое ожидание (МО) Математическое ожидание (МО) СВ определяется следующими формулами МО можно трактовать как центр тяжести
17. Математическое ожидание (МО) Математическим ожиданием может называться генеральное среднее, в этом случае для обозначения МО используется
18. Моменты случайной величины Различают начальные и центральные моменты СВ Начальный момент S – го порядка СВ
19. Дисперсия Вторую группу наиболее часто используемых на практике параметров составляют параметры, характеризующие степень рассеяния СВ относительно
20. Среднеквадратичное отклонение Коэффициент вариации Среднеквадратичное отклонение (СКО) СВ Х (стандарт) это квадратный корень из дисперсии. Для
21. Асимметрия Коэффициент асимметрии С является безразмерным параметром и характеризует степень симметричности рассеяния относительно математического ожидания. Коэффициент
22. Эксцесс Эксцесс Ех также является безразмерным параметром и определяется формулой Эксцесс позволяет оценить островершинность, или наоборот
23. Влияние коэффициента вариации (а) и эксцесса (б) на форму функции плотности вероятности
24. Свойства математического ожидания 1. МО постоянной величины равно самой этой величине: М[c] = c, где с
25. Свойства дисперсии Дисперсия постоянной величины равно нулю D[c] = 0, где с = const. 2. Постоянную
26. Стандартные преобразования случайных величин. В гидрологической практике наиболее часто используется замена СВ Х модульными коэффициентами и
27. Квантили распределения Во многих практических случаях необходимо по заданной вероятности не превышения F(x) = p’ определить
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные задачи и темы курса
Цели и задачи курса «Математические методы

обработки гидрологической информации»
Случайные величины и функции распределения
Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии
Построение кривых обеспеченностей и оценка параметров распределения по эмпирическим данным
Интервальное оценивание параметров и проверка статистических гипотез
Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными
Случайные процессы

Слайд 3

Случайные величины

Большое число факторов, влияющих на гидрологические характеристики –

одно из обоснований для обработки гидрологических данных с использованием аппарата теории вероятностей
Случайная величина (СВ) – это величина, значение которой меняется от опыта к опыту
Неслучайные или детерминированные величины - это величины, значения которых от опыта к опыту не меняются

Слайд 4

Закон распределения случайной величины
Закон распределения СВ задан, если:
указано множество возможных

значений СВ
указан способ количественного определения вероятности попадания СВ в любую область из множества возможных значений
Вероятность – Р попадания СВ в интервал [a,b] можно определить следующим образом:
P(a,b) =
где m – число наблюдений СВ, оказавшихся в заданной области; N – общее число наблюдений.
Аналитическими выражениями законов распределения случайной величины являются функции распределения – интегральная и дифференциальная.

Слайд 5

Интегральная функция распределения F(x)
Интегральная функция распределения F(x) СВ X показывает

вероятность того, что СВ не превысит некоторого заданного числа x, т.е.
F(x) = P { X ≤ x}

Слайд 6

Интегральная функция распределения F(x)
Вероятность того, что значение СВ Х заключено

между х1 и х2 равно разности значений функций распределения, вычисленных в двух точках:
P {x1 < X ≤ x2} = F(x2) - F(x1)
аналогично
P {X > x} = P {+ ∞ > X > x} = 1 – F(x)

Слайд 7

Функция обеспеченности P(х)
В гидрологической практике вместо функции F(x) часто используется функция

обеспеченности P(х), но с включением в интервал изменений значения х
P(х) = 1 - F(x) = P {X ≥ x}
То есть функция обеспеченности P(х) СВ Х показывает вероятность превышения некоторого заданного числа х

Слайд 8

Свойства интегральной функции распределения F(x) и функция обеспеченности P(х)

Слайд 9

Дифференциальная функция распределения вероятностей
Если функция распределения F(x) дифференцируема для всех

значений СВ Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен и в виде дифференциальной функции распределения вероятностей

f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей или функцией плотности вероятности

Слайд 10

Свойства функции плотности вероятности f(x)
С помощью дифференциальной функции распределения можно вычислить

вероятность попадания СВ с любую заданную область из множества возможных значений, в частности:

Слайд 11

Вычисление вероятности попадания СВ в заданную область с помощью дифференциальной функции

распределения

Слайд 12

Дискретные и непрерывные случайные величины
Дискретная СВ – это СВ, которая принимает

только конечные или счетное множество значений: х1, х2, х3…..
Непрерывная СВ может принимать любые значения из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.
Интегральная функция распределения дискретной СВ Х в практических ситуациях представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках х1, х2, х3….

Слайд 13

Ряд распределения СВ
Интегральная функция распределения F(x) дискретной СВ не дифференцируема. Поэтому

вместо функции плотности вероятности используется ее дискретный аналог, который называется рядом распределения и может представляться в виде таблицы

На основании такой таблицы можно построить гистограмму распределения вероятностей дискретной СВ. Для ряда распределения дискретной СВ должно выполняться равенство

Слайд 14

Числовые характеристики случайных величин. Мода
Мода, медиана, математическое ожидание - это параметры,

характеризующие положение центра распределения.
Модой Мо непрерывной СВ Х называется такое ее значение, которому соответствует максимум плотности вероятности
Модой Мо дискретной СВ Х называется наиболее вероятное значение СВ

Слайд 15

Медиана
Медианой Ме непрерывной СВ Х называется такое ее значение, при котором

Можно сказать, что Ме – это такое значение СВ, при котором значение функции обеспеченностей равно значению интегральной функции распределения.

Положение медианы на графиках дифференциальной (а) и интегральной (б) функций распределения.

Для дискретных СВ медиана определяется неоднозначно и практически не употребляется.

Слайд 16

Математическое ожидание (МО)
Математическое ожидание (МО) СВ определяется следующими формулами
МО

можно трактовать как центр тяжести плотности вероятности

В качестве символа МО используется обозначение М[Х]. Таким образом, для СВ Х можно записать также mx ~ М[Х]

Слайд 17

Математическое ожидание (МО)
Математическим ожиданием может называться генеральное среднее, в этом

случае для обозначения МО используется символ N, где N→∞.

Если мода, медиана и математическое ожидание совпадают, то распределение является симметричным. Если МО расположено правее медианы, то распределение является положительным, в противном случае – отрицательным.

Слайд 18

Моменты случайной величины
Различают начальные и центральные моменты СВ
Начальный момент S –

го порядка СВ равен

as = M [Xs ] или

Центральный момент S-го порядка СВ Х определяется формулой

или

МО - первый начальный момент, то есть
mx = M[X1] = α1

Слайд 19

Дисперсия
Вторую группу наиболее часто используемых на практике параметров составляют параметры, характеризующие

степень рассеяния СВ относительно центра распределения.
К ним относится дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия СВ Х представляет собой второй центральный момент, то есть

Для непрерывной СВ Х дисперсия определяется формулой

Слайд 20

Среднеквадратичное отклонение Коэффициент вариации
Среднеквадратичное отклонение (СКО) СВ Х (стандарт) это квадратный корень

из дисперсии.

Для описания рассеяния положительных СВ можно использовать безразмерную характеристику – коэффициент вариации.
Коэффициент вариации Сv СВ Х это отношение СКО к МО.

Слайд 21

Асимметрия
Коэффициент асимметрии С является безразмерным параметром и характеризует степень симметричности рассеяния

относительно математического ожидания.
Коэффициент асимметрии определяется формулой

Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю.

Слайд 22

Эксцесс
Эксцесс Ех также является безразмерным параметром и определяется формулой
Эксцесс позволяет оценить

островершинность, или наоборот туповершинность, функции плотности вероятности СВ Х относительно нормального закона распределения, для которого Ех =0.

Слайд 23

Влияние коэффициента вариации (а) и эксцесса (б) на форму функции плотности

вероятности

Слайд 24

Свойства математического ожидания
1. МО постоянной величины равно самой этой величине:
М[c] =

c, где с – константа
2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО:
M[cX] = cM[X]
3. МО суммы независимых СВ равно сумме их МО

так, например

4. МО линейной функции от СВ выражается формулой

5. МО произведения независимых СВ равно произведению их МО:

Слайд 25

Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной величины равно нулю
D[c] = 0, где

с = const.
2. Постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат

3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий

4. Дисперсия линейной функции СВ определяется выражением

Слайд 26

Стандартные преобразования случайных величин.
В гидрологической практике наиболее часто используется замена

СВ Х модульными коэффициентами и замена СВ стандартной нормированной СВ.
Модульным коэффициентом называется соотношение СВ к ее математическому ожиданию
ki = xi/mx
Стандартная нормированная величина может быть получена из СВ по формуле
ti = (xi - mx)/σx
или с учетом формулы выше ti = (ki - 1)/Cv

Слайд 27

Квантили распределения
Во многих практических случаях необходимо по заданной вероятности не превышения

F(x) = p’ определить величину x’p. Для обозначения x’p в этом случае в математической статистике используется специальный термин – квантиль
р – квантилем называется значение случайной величины x’p, соответствующее заданному значению вероятности непревышения F(x) = p’.
По аналогии с квантилями в гидрологической практике используется р – ординаты кривой обеспеченности
Ординатой кривой обеспеченности называется такое значение СВ Х (хр), которое соответствует заданной вероятности превышения Р(х) = р
То есть Р(х)= 1- F(x), следовательно, р и р’ связаны соотношением р = 1 - р’ или (если р в %) р = 100 - р’

Случайные величины и функции распределения (лекция 1)

Содержание

Основные задачи и темы курса Цели и задачи курса «Математические методы

Случайные величины Большое число факторов, влияющих на гидрологические характеристики –

Закон распределения случайной величины Закон распределения СВ задан, если:указано множество возможных

Интегральная функция распределения F(x) Интегральная функция распределения F(x) СВ X показывает

Интегральная функция распределения F(x) Вероятность того, что значение СВ Х заключено

Функция обеспеченности P(х)В гидрологической практике вместо функции F(x) часто используется функция

Свойства интегральной функции распределения F(x) и функция обеспеченности P(х)

Дифференциальная функция распределения вероятностей Если функция распределения F(x) дифференцируема для всех

Свойства функции плотности вероятности f(x)С помощью дифференциальной функции распределения можно вычислить

Вычисление вероятности попадания СВ в заданную область с помощью дифференциальной функции

Дискретные и непрерывные случайные величиныДискретная СВ – это СВ, которая принимает

Ряд распределения СВИнтегральная функция распределения F(x) дискретной СВ не дифференцируема. Поэтому

Числовые характеристики случайных величин. МодаМода, медиана, математическое ожидание - это параметры,

МедианаМедианой Ме непрерывной СВ Х называется такое ее значение, при котором

Математическое ожидание (МО) Математическое ожидание (МО) СВ определяется следующими формулами МО

Математическое ожидание (МО) Математическим ожиданием может называться генеральное среднее, в этом

Моменты случайной величиныРазличают начальные и центральные моменты СВНачальный момент S –

ДисперсияВторую группу наиболее часто используемых на практике параметров составляют параметры, характеризующие

Среднеквадратичное отклонение Коэффициент вариации Среднеквадратичное отклонение (СКО) СВ Х (стандарт) это квадратный корень

Асимметрия Коэффициент асимметрии С является безразмерным параметром и характеризует степень симметричности рассеяния

ЭксцессЭксцесс Ех также является безразмерным параметром и определяется формулойЭксцесс позволяет оценить