Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Июль 26, 2022

Главная
Математика
Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Содержание

2. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на [α,β], где φ(α)=a, φ(β)=b и функция f(x) непрерывна в
3. Пусть F(x) и Ф(х) – некоторые первообразные для функций Ранее было доказано, что функция тоже является
4. Поэтому Отсюда по формуле Ньютона-Лейбница
5. Как и в случае неопределенного интеграла замена переменной во многих случаях позволяет свести интеграл к табличному.
6. На практике, выполняя замену переменной, часто указывают выражение новой переменной через старую. В этом случае нахождение
7. Вычислить определенный интеграл Пример.
8. Решение:
9. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [α,β], тогда где Теорема 2.
10. Так как то функция является первообразной для функции Тогда по формуле Ньютона-Лейбница: Доказательство:
12. Вычислить определенный интеграл Пример.
14. Скачать презентацию

Слайд 2

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на [α,β], где φ(α)=a, φ(β)=b

и функция f(x) непрерывна в каждой точке х=φ(t), где

Тогда справедливо равенство:

Теорема 1.

Слайд 3

Пусть F(x) и Ф(х) – некоторые первообразные для функций
Ранее было

доказано, что функция

тоже является первообразной для

Тогда по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что

Доказательство:

Слайд 4

Поэтому
Отсюда по формуле Ньютона-Лейбница

Слайд 5

Как и в случае неопределенного интеграла замена переменной во многих случаях

позволяет свести интеграл к табличному.

В этом случае не обязательно возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы интегрирования новой переменной как решения уравнений

Слайд 6

На практике, выполняя замену переменной, часто указывают выражение
новой переменной через

старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается:

Слайд 7

Вычислить определенный интеграл
Пример.

Слайд 8

Решение:

Слайд 9

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [α,β], тогда
где
Теорема

2.

Слайд 10

Так как
то функция
является первообразной для функции
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:
Доказательство:

Слайд 11

Слайд 12

Вычислить определенный интеграл
Пример.