Устойчивость САУ

Структурная схема линейной системы

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

- частное решение неоднородного уравнения определяется внешним воздействием на систему - это вынужденное движение системы.

- общее решение однородного уравнения определяет свободное движение системы.

(2)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Мнимая ось в плоскости корней представляет собой границу устойчивости. Вся левая полуплоскость является областью устойчивости.

(1)

(2)

(3)

Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости, поскольку в этом случае при положительных коэффициентах характеристического уравнения все его корни являются левыми. Однако для систем третьего и высшего порядков положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым условием устойчивости, но не достаточным. В этом случае все вещественные корни характеристического уравнения левые, комплексные же корни могут быть и правыми.

Для устойчивости полинома необходимо, чтобы все его коэффициенты были положительными. Поэтому достаточно проверить только n −1 первых определителей Гурвица. Например, для n=5 речь идет об определителях.

Порядок расчета устойчивости по критерию Михайлова:

Записывается характеристическое уравнение замкнутой системы:

Производится замена p = jω и выделяются реальная P(ω) и мнимая Q(ω) слагаемые.

В осях координат P(ω), jQ(ω) при изменении ω от 0 до +∝ строят характеристический частотный вектор (годограф Михайлова).

По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно n квадрантов. На границе устойчивости системы годограф проходит через начало координат.

Частота , для которой , называется частотой среза. Для устойчивой системы значение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180° ; в этом случае годограф не охватит точку (−1; 0) .

Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разница между числом положительных и отрицательных переходов была равна l/2 , где l – число неустойчивых полюсов функции W(jω). Начальная точка на оси абсцисс левее точки (−1; 0) считается за половину перехода.

1. Критерии, используемые для оценки точности работы системы в различных типовых режимах. Точность работы определяется ошибкой управления.
2. Критерии, определяющие величину запаса устойчивости.
3. Показатели, характеризующие быстродействие системы. Под быстродействием понимают быстроту реагирования системы на задающие и возмущающие воздействия.
4. Интегральные оценки качества.

где фазовая характеристика равна −180° . В практических задачах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.

Запас устойчивости по фазе

это дополнительный сдвиг фазы который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза. Запас по фазе должен быть не менее 30° .

Показатели характеризующие запас устойчивости САУ.

.

- время переходного процесса

Параметр, определяющий скорость затухания колебаний в системе, называется колебательностью.