Тройной интеграл Виды поверхностей второго порядка Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл в цилиндрических коор

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Тройной интеграл Виды поверхностей второго порядка Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл в цилиндрических коор

Содержание

2. Виды поверхностей второго порядка Цилиндрические поверхности Всякое уравнение, не содержащее переменной z и представляющее на плоскости
3. Виды поверхностей второго порядка Уравнение представляет на плоскости XOY эллипс с полуосями а и b. Пример
4. Эти уравнения представляют собой цилиндрические поверхности у которых образующие параллельны осям OY и OX. Уравнение Пример
5. Поверхности вращения Уравнение поверхности содержит переменные x и y в виде 2 Для построения этой поверхности
6. Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ: Пример 4 параболоид вращения Виды
7. Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ: Пример 5 конус - уравнения
8. Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ: Пример 6 сфера - уравнение
9. Замена переменных в тройном интеграле Заменим переменные : определитель Якоби (якобиан) Пусть в замкнутой области V
10. Тогда справедлива формула замены переменной в тройном интеграле: Для вычисления тройного интеграла наиболее часто используют так
11. Цилиндрические координаты Положение точки M(x; y; z) в пространстве можно определить заданием трех чисел r; φ;
12. Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями: Возьмем в качестве u, v, w
13. Формула замены переменных примет вид: Внутренний интеграл берется по переменной z, пределы расставляются также, как в
14. К цилиндрическим координатам удобно переходить в том случае, если область D (проекция области V на XOY)
15. D z = 1 Приведем уравнение конуса к цилиндрическим координатам: z = r Найдем уравнение линии,
16. z = r Расставим пределы интегрирования: r 1 Цилиндрические координаты 0 0 1 16/17
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Виды поверхностей второго порядка
Цилиндрические поверхности
Всякое уравнение, не содержащее переменной z и

представляющее на плоскости XOY некоторую линию L представляет в пространстве цилиндрическую поверхность, у которой образующая параллельна оси OZ, а направляющей служит линия L.

Для построения этой поверхности рисуем линию на плоскости XOY с таким же уравнением, затем переносим ее параллельно оси OZ.

Правило

2/17

Слайд 3

Виды поверхностей второго порядка
Уравнение
представляет на плоскости XOY эллипс с полуосями а

и b.

Пример 1

Пример 2

Уравнение

представляет на плоскости XOY гиперболу с полуосями а и b.

эллиптический цилиндр

гиперболический цилиндр

3/17

Слайд 4

Эти уравнения представляют собой цилиндрические поверхности у которых образующие параллельны осям

OY и OX.

Уравнение

Пример 3

представляет на плоскости YOZ параболу.

параболический цилиндр

Для построения первой поверхности рисуем линию на плоскости XOZ, затем переносим ее параллельно оси OY , для построения второй поверхности рисуем линию на плоскости YOZ, затем переносим ее параллельно оси OX .

Виды поверхностей второго порядка

4/17

Слайд 5

Поверхности вращения
Уравнение поверхности содержит переменные x и y в виде
2
Для построения

этой поверхности задаем x = 0, рисуем линию на плоскости YOZ с уравнением , затем вращаем ее вокруг оси OZ.

Правило

Аналогично изображаются поверхности:

(задаем x = 0, рисуем линию на плоскости YOZ , затем вращаем ее вокруг оси OY )

(задаем y = 0, рисуем линию на плоскости XOZ , затем вращаем ее вокруг оси OX )

Виды поверхностей второго порядка

5/17

Слайд 6

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
Пример

параболоид вращения

Виды поверхностей второго порядка

6/17

Слайд 7

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
Пример

конус

- уравнения двух прямых

Виды поверхностей второго порядка

7/17

Слайд 8

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
Пример

сфера

- уравнение окружности

В общем случае уравнение сферы с центром в точке (a; b; c) и радиусом R:

Виды поверхностей второго порядка

8/17

Слайд 9

Замена переменных в тройном интеграле
Заменим переменные :
определитель Якоби (якобиан)
Пусть в

замкнутой области V пространства задана непрерывная функция F = f(x, y, z).

Пусть функции x, y и z имеют в некоторой области V* плоскости 0uvw непрерывные частные производные и не равный нулю определитель:

9/17

Слайд 10

Тогда справедлива формула замены переменной в тройном интеграле:
Для вычисления тройного интеграла

наиболее часто используют так называемые цилиндрические и сферические координаты.

Замена переменных в тройном интеграле

10/17

Слайд 11

Цилиндрические координаты
Положение точки M(x; y; z) в пространстве можно определить заданием

трех чисел r; φ; z.

r – длина радиус – вектора проекции точки M на плоскость X0Y.

φ – угол, образованный этим радиус – вектором с осью 0X.

z – аппликата точки М.

M(x; y; z)

M(r; φ; z)

Эти три числа (r; φ; z) называются цилиндрическими координатами точки М.

11/17

Слайд 12

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
Возьмем в

качестве u, v, w цилиндрические координаты r, φ, z и вычислим Якобиан преобразования:

Цилиндрические координаты

12/17

Слайд 13

Формула замены переменных примет вид:
Внутренний интеграл берется по переменной z, пределы

расставляются также, как в декартовых координатах (уравнения поверхностей должны быть приведены к цилиндрическим координатам) .

Оставшийся двойной интеграл – это интеграл в полярных координатах по области D.

Цилиндрические координаты

13/17

Слайд 14

К цилиндрическим координатам удобно переходить в том случае, если область D

(проекция области V на XOY) – круг или часть круга или если область V образована цилиндрической поверхностью.

Замечание

Вычислить

V – область, ограниченная верхней частью конуса

и плоскостью z = 1.

Цилиндрические координаты

14/17

Слайд 15

D
z = 1
Приведем уравнение конуса к цилиндрическим координатам:
z = r
Найдем уравнение

линии, ограничивающей область D:

В полярных координатах:

r = 1

Цилиндрические координаты

15/17

Слайд 16

Тройной интеграл Виды поверхностей второго порядка Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл в цилиндрических коор

Содержание

Виды поверхностей второго порядкаЦилиндрические поверхностиВсякое уравнение, не содержащее переменной z и

Виды поверхностей второго порядкаУравнениепредставляет на плоскости XOY эллипс с полуосями а

Эти уравнения представляют собой цилиндрические поверхности у которых образующие параллельны осям

Поверхности вращенияУравнение поверхности содержит переменные x и y в виде2Для построения

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:Пример

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:Пример

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:Пример

Замена переменных в тройном интегралеЗаменим переменные :определитель Якоби (якобиан) Пусть в

Тогда справедлива формула замены переменной в тройном интеграле:Для вычисления тройного интеграла

Цилиндрические координатыПоложение точки M(x; y; z) в пространстве можно определить заданием

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:Возьмем в

Формула замены переменных примет вид:Внутренний интеграл берется по переменной z, пределы

К цилиндрическим координатам удобно переходить в том случае, если область D

Dz = 1Приведем уравнение конуса к цилиндрическим координатам:z = rНайдем уравнение

z = rРасставим пределы интегрирования:r1Цилиндрические координаты00116/17

Похожие презентации

Виды поверхностей второго порядка
Цилиндрические поверхности
Всякое уравнение, не содержащее переменной z и

Виды поверхностей второго порядка
Уравнение
представляет на плоскости XOY эллипс с полуосями а

Поверхности вращения
Уравнение поверхности содержит переменные x и y в виде
2
Для построения

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
Пример

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
Пример

Зададим x = 0, и получим уравнение линии на плоскости YOZ:
Пример

Замена переменных в тройном интеграле
Заменим переменные :
определитель Якоби (якобиан)
Пусть в

Тогда справедлива формула замены переменной в тройном интеграле:
Для вычисления тройного интеграла

Цилиндрические координаты
Положение точки M(x; y; z) в пространстве можно определить заданием

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
Возьмем в

Формула замены переменных примет вид:
Внутренний интеграл берется по переменной z, пределы

D
z = 1
Приведем уравнение конуса к цилиндрическим координатам:
z = r
Найдем уравнение

z = r
Расставим пределы интегрирования:
r
1
Цилиндрические координаты
0
0
1
16/17