Числовые ряды

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Числовые ряды

Содержание

2. 1.Числовые ряды. Определение. 2.Необходимый признак сходимости. 3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 4.Знакопеременные ряды. 5.Знакочередующиеся
3. Сумма ряда или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их
4. Пусть дана бесконечная последовательность чисел: (1) Выражение: (2) называется числовым рядом, а числа - членами ряда.
5. Если последовательность частичных сумм имеет конечный предел (3) то этот предел называется суммой ряда. В этом
6. Необходимый признак сходимости ряда ● Если ряд сходится, то его общий член к нулю при стремится
7. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 1) Признак сравнения рядов (5) (6) ● Если, начиная
8. 2) Признак Даламбера. ● Если существует предел то при ℓ ряд (5) сходится , о сходимости
9. Примеры 1. Написать пять первых членов ряда по данному общему члену (*) 2. Найти для ряда
10. Частичная сумма ряда Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его сумма S=1 3. Написать формулу
11. Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим если ,то расходится! => ряд расходится - расходиться! 4.
12. 5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда: ℓ=0 ряд сходится. 6. Исследовать по признаку Коши сходимость
13. Знакопеременные ряды Определение: Если члены числового ряда с разными знаками, то такой ряд будет называться знакопеременным.
14. ● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
15. Знакочередующиеся ряды Ряд (3) (3`) где n>0 (n=1,2,3,…) называется знакочередующимся. Этот ряд является частным случаем знакопеременного
16. Признак Лейбница Если члены знакочередующегося ряда (3) убывают по абсолютной величине и 0 , то такой
17. Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и предел =>ряд сходится Составлен ряд (а)
18. Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом или 2) Абсолютно сходятся ряды с общим членом
20. Скачать презентацию

Слайд 2

1.Числовые ряды. Определение.
2.Необходимый признак сходимости.
3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными

членами.
4.Знакопеременные ряды.
5.Знакочередующиеся ряды.
6.Признак Лейбница.

План

Слайд 3

Сумма ряда или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество

слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится

Слайд 4

Пусть дана бесконечная последовательность чисел:
(1)
Выражение:
(2)
называется числовым рядом, а

числа - членами ряда.

Суммы

называются частичными

суммами ряда. (2)

Слайд 5

Если последовательность частичных сумм имеет
конечный предел
(3)
то этот предел называется суммой ряда.

В этом случае ряд называется сходящимся.Если же предел (3) не существует или равен ∞ то ряд расходится и суммы не имеет.

Слайд 6

Необходимый признак сходимости ряда
● Если ряд сходится, то его общий член

к нулю при

стремится

неограниченном возрастании номера n :

(4)

При нарушения условия (4) ряд заведомо расходится.

Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость

его остатка

остатка ряда

и, наоборот,

сходимости

из

следует сходимость

исходного ряда.

Иначе говоря

, если отбросить

число

конечное

начальных членов ряда

, то это не отразится

на сходимости

(расходимости) ряда.

Слайд 7

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
1) Признак сравнения рядов
(5)

(6)

● Если, начиная с некоторого номера n ϵ N,

неравенство

выполняется

, то

из сходимости ряда (6)

следует

сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5)

следует

расходимость ряда (6).

Слайд 8

2) Признак Даламбера.
● Если существует предел
то при ℓ<1
ряд (5)

сходится ,

о сходимости ряда остается переменным.

а при ℓ>1 расходится.

При ℓ=1

вопрос

3) Признак Коши

● Если существует предел

при ℓ <1 ряд (5) сходится,

то

Если ℓ=1, то вопрос о сходимости ряда остается

а при ℓ>1 расходится.

нерешенным.

Слайд 9

Примеры
1. Написать пять первых членов ряда по данному
общему
члену
(*)
2. Найти для

ряда (*) частичную сумму первых n членов( )

Общий член ряда

запишем иначе:

Слайд 10

Частичная сумма ряда
Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его

сумма S=1

3. Написать формулу общего члена для ряда:

формуле 3n+2. (n=1,2,3,…)

Числители членов – четные числа вида 2n,

знаменатели

– нечетные числа,

получаются

по

Слайд 11

Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим
если
,то расходится!

=> ряд расходится

- расходиться!

4. Гармонический ряд

Слайд 12

5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
ℓ=0<1 => ряд сходится.
6.

Исследовать по признаку Коши сходимость ряда:

=> сходится

Слайд 13

Знакопеременные ряды
Определение: Если члены числового ряда с разными знаками, то такой

ряд будет называться

знакопеременным.

● Знакопеременный ряд

(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных

величин его членов

(2)

Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Слайд 14

● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то

ряд (1) называется

условно сходящимся.

Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда те же, что и сходимости с положительными членами.

Слайд 15

Знакочередующиеся ряды
Ряд
(3)

(3`)
где n>0 (n=1,2,3,…) называется знакочередующимся. Этот ряд

является частным случаем знакопеременного ряда.

Слайд 16

Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда (3) убывают по абсолютной величине
и

, то такой ряд сходится и сумма

# Исследовать сходимость знакопеременного ряда.

его

Слайд 17

Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются
и предел
=>ряд

сходится

Составлен ряд

(а)

и сравним его с расходящимся

рядом

(б)

(т.к. расходится гармонический ряд).

Каждый член ряда (а) больше соответственного члена ряда (б), следовательно, ряд (а) расходится, потому данный ряд сходится условно.

Слайд 18

Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом
или
2)

Абсолютно сходятся ряды с общим членом

- сходится

3) Расходятся ряды с общим членом

Числовые ряды

Содержание

1.Числовые ряды. Определение.2.Необходимый признак сходимости. 3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными

Сумма ряда или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество

Пусть дана бесконечная последовательность чисел:(1)Выражение: (2) называется числовым рядом, а

Если последовательность частичных сумм имеетконечный предел(3)то этот предел называется суммой ряда.

Необходимый признак сходимости ряда● Если ряд сходится, то его общий член

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.1) Признак сравнения рядов (5)

2) Признак Даламбера. ● Если существует предел то при ℓ<1ряд (5)

Примеры1. Написать пять первых членов ряда по данномуобщемучлену (*) 2. Найти для

Частичная сумма ряда Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его

Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим если ,то расходится!

5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:ℓ=0<1 => ряд сходится. 6.

Знакопеременные рядыОпределение: Если члены числового ряда с разными знаками, то такой