Функциональные ряды

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Функциональные ряды

Содержание

2. Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом относительно переменной x. Придавая переменой x некоторое значение x0,x1 и
3. Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то он сходится абсолютно при всех значениях
4. 3) Ряды вида 2, не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III классам.
5. Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R с центром в точке x=a. Разложение функций
6. Коэффициенты (4) определяется единственным образом функциями: (5) Подставляя выражения (5) в равенство (4) получаем ряд Тейлора
7. Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1), чему равен коэффициент при (x-1)2. Порядок 5, значит
8. f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по формулам: Достаточные условия представимости функции ряда
9. I. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирехле на отрезке [- ; ], то ряд Фурье
10. Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье. С помощью имеющегося разложения в ряд
11. Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем cos(2k-1)x, который является мнимым. Пусть
12. Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2 найти сумму числового ряда Разложение функции в неполный ряд Фурье.
13. в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция продолжается на другой полуинтервал и
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом относительно переменной x.
Придавая переменой

x некоторое значение x0,x1 и т.д., мы будем получать те или иные числовые ряды.
В зависимости от значения принимающего переменной x, численный ряд может оказаться сходящимся или расходящимся.
Опр-е: Совокупность всех значений переменной x, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Опр-е: Функциональный ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2), где а0, а1, а2… не зависят от переменой x, называется степенным относительно переменных x рядом.
Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Слайд 3

Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то он

сходится абсолютно при всех значениях x, для которых . Наоборот, если ряд (2) расходится при x=x0, он расходится при всех значениях x, для которых
Для каждого степенного ряда существует такое вещественное неотрицательное число R, что при |x|R расходится. R-радиус сходимости.
Опр-е: Область значений переменной x, удовлетворяющих соотношению –R< x 1) Степенные ряды вида (2), которые сходятся лишь в точке х=0 относятся к рядам первого класса.
# 1+x+1!x2+…+n!xn+…
2) Степенные ряды вида (2), которые сходятся на всем R относятся к рядам II-го класса.
#

Слайд 4

3) Ряды вида 2, не принадлежащие к I и II классам

относятся к рядам III классам.
Теорема: Пусть для ряда (2) существует и отличен от нуля предел:
Тогда R=
#
Составим предел отношения
Интервал сходимости: -3Ряды по степеням разности х-а

Слайд 5

Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R с центром

в точке x=a.
Разложение функций в степенные ряды
Ряд Тэйлора
Если функция F(x) является суммой ряда (3), то в этом случае говорят, что F(x) разлагается в ряд по степеням (x-a)
Мы имеем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда (т.е. многочленов).
Если функция F(x) на интервале (х0-R; х0+R) разлагается в степенной ряд
F(х)= (4)
то это разложение единственно.

Слайд 6

Коэффициенты (4) определяется единственным образом функциями:
(5)
Подставляя выражения (5) в равенство

(4) получаем ряд Тейлора – разложение функции F(х) по степеням разности (х-а).
Пример: Найти коэффициент а4 в разложении функции F(x)=x3-1 по степеням разности (x-1).
F’(x)=3x2
F’’(x)=6x
F’’’(x)=6
FIV(x)=0 a4=0

Слайд 7

Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1), чему равен коэффициент

при (x-1)2.
Порядок 5, значит слагаемых будет 6.
F’(x)=20х4-30х2
F’’(x)=80х3-60х
F’’(1)=80-30=20
Ряды Фурье
Опр-е: Тригонометрический ряд вида:
(8)
где а0,аn,bn (n=1,2 и т.д.) – постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда, называется рядом Фурье ф-ции f(x).

Слайд 8

f(x) – периодическая с периодом
Коэффициенты ряда (8) определяются по формулам:
Достаточные

условия представимости функции ряда Фурье.
Пусть функция f(x) на отрезке [- ; ] удовлетворяет условиям Дирехле
1. Это значит, что функция на этом отрезке непрерывна или кусочко – непрерывна (т.е. имеет конечное число точек, разрыва первого рода) и
2. Монотонно или кусочно-монотонно.

Слайд 9

I. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирехле на отрезке [-

; ], то ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, и
(f(x0-0)+f(x0+0))/2. В точке x0 – разрыва ф-ции,

Слайд 10

Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье.
С помощью

имеющегося разложения в ряд Фурье можно вычислять значения сумм числовых рядов, соответствующих данному ряду.
Пример: Дана функция
Вычислив коэффициент ряда Фурье, имеем:
Найти сумму числового ряда:

Слайд 11

Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем

cos(2k-1)x, который является мнимым. Пусть cos(2k-1)x=1, тогда: cos(2k-1)x=1
(2k-1)x=0
x=0 в этой тоже функция f(x) определена и значит по теореме Дирихха сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x), f(0)=-x/0=-0=0<
Рассчитаем третье слагаемое:
Подставим все найденные значения в разложение:

Слайд 12

Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2
найти сумму числового ряда
Разложение

функции в неполный ряд Фурье.
Разложения будет неполным (говорят о неполном ряде Фурье), если исходящая функция является: а) четной –разложение по cos:
б) нечетная – разложение по sin:

Слайд 13

в) определенная на полуинтервале т.е. на или
В этом случае функция продолжается

на другой полуинтервал и просчитываются соответствующие коэффициенты (ak или bk).
Пример: f(x)=x на
Зададим продолжение функции на интервал нечетную функцию.