Числовые характеристики непрерывной сл. в.Нормальное распределение без кривой Гаусса

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Числовые характеристики непрерывной сл. в.Нормальное распределение без кривой Гаусса

Содержание

2. Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. ♦ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х,
3. ♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х Є
4. Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных
5. Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей распределения: 0 при х ≤
6. Найдем мат. ожидание: M(X) = ∫ x ·1· dx = х2/2 = 1/2. Дисперсия: D(X) =
7. Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью f(x) = е -(х-
8. Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0). Нормированным называют норм. распр-ие с
9. Локальная теорема Лапласа При больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для приближенных вычислений используют локальную
10. Ф-ла тем точнее, чем больше n. Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица для положительных х приводится
11. Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления
12. Спасибо за внимание!
13. Нормальная кривая
14. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем ф-ию у = е Методом дифференциального
15. 2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х. 3. Lim y = 0, т.е.
16. 5. Разность х-а содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е. график симметричен относительно прямой х=а.
17. у''=0 при х=а±σ, а при переходе через эти точки 2-ая производная меняет знак (в обеих этих
18. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой Известно, что график f(x-a) получается параллельным переносом графика
19. Отсюда следует, что с возрастанием σ максимум убывает, а сама кривая становиться более пологой, т.е. сжимается
20. 0 (σ1≈1⇨ кривую называют нормированной). f(x) х 0 σ1 σ2 σ3
21. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Как известно P (α того, что случайная величина
22. Вычисления вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность то, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х
23. В частности, при а=0 P (|Х| Т.е. чем меньше σ (рассеяние нормальной случайной величины вокруг ее
24. Правило трех сигм В ф-ле P (|Х-а| P (|Х-а| следовательно, σ t = 3σ , то
25. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратичное отклонение, очень мала, а
26. На практике, если распределение неизвестно, но выполняется условие в правиле 3-х сигм, то есть основание предполагать,
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные.
♦ Математическим ожиданием

непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой xЄ[а; b], называют определенный интеграл:
M (X) = ∫ x f(x) dx.
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то M (X) = ∫ x f(x) dx,
х – М (Х) – есть отклонение величины Х.
Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл ∫ |x| f(x) dx

-∞

∞

-∞

Слайд 3

♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если

возможные значения Х Є [а; b], то
D(X) = ∫ [x – M(X)]2 f(x)dx.
Если х Є [-∞; ∞], то
D(X) = ∫ [x – M(X)]2 f(x)dx.
♦ Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретных величин, равенством:
σ (Х) = √ D (X) .

∞

-∞

Слайд 4

Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных

величин сохраняются и для непрерывных величин.
Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:
D(X) = ∫ х2 f(x)dx - [M(X)]2;
D(X) = ∫ х2 f(x)dx - [M(X)]2.

∞

-∞

Слайд 5

Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей

распределения:
0 при х ≤ 0
F(x) = х при 0 < х ≤ 1
1 при х > 1.
Решение. Найдем плотность распределения:
0 при х < 0
f(х) = F'(x) = 1 при 0 < х < 1
0 при х > 1.

Слайд 6

Найдем мат. ожидание:
M(X) = ∫ x ·1· dx = х2/2 =

1/2.
Дисперсия:
D(X) = ∫ х2 ·1· dx - [1/2]2 = х3/3 - 1/4 = 1/12.

Слайд 7

Нормальное распределение
Нормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью

f(x) = е -(х- а)2/2σ2.
Норм. распределение опред-ся 2-мя параметрами а и σ.
Вероятностный смысл этих параметров таков:
а – есть математическое ожидание, а
σ – среднее квадратичное отклонение формального распределения.

σ √2π

Слайд 8

Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0).
Нормированным

называют норм. распр-ие с параметрами а=0 и σ=1. Напр., если
Х – нормальная величина с параметрами а и σ, то
U = (Х - а)/σ – нормированная нормальная величина, причем М(U)=0, σ(U)=1.
Плотность нормированного распределения
φ(x) = е-х2/2.
Эта ф-ция фигурирует в локальной теореме Лапласа и затабулирована.

√2π

Слайд 9

Локальная теорема Лапласа
При больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для

приближенных вычислений используют локальную теорему Лапласа:
«Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие А наступит ровно k раз, приближенно равна
Рn(k) φ(x), где φ(x)= е-х2/2,

√npq

k-np

√2π

Х=

k-np

√npq

Слайд 10

Ф-ла тем точнее, чем больше n.
Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица

для положительных х приводится в приложениях учебных пособий. Т.к. ф-ия φ(x) четная, то для отрицательных значений х можно воспользоваться формулой φ(-x) = φ(x).

Слайд 11

Интегральная теорема Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом

из которых вероятность появления события А равна р, событие А наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
Рn(k1; k2) ≈ Ф(х'') - Ф(х'), где
Ф(х) = ∫е-Z2/2·dz – ф-ия Лапласа,
х'= , х''= , k2>k1.

√2π

k1-np

√npq

k2-np

√npq

Ф(-х) = Ф(х),
для х>5 Ф(х)=0,5.

Слайд 12

Спасибо за внимание!

Слайд 13

Нормальная кривая

Слайд 14

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем ф-ию
у

= е
Методом дифференциального исчисления.
1. Очевидно, ф-ия определена на всей оси х.

σ√2π

(х- а)2

2σ2

f(x)

Слайд 15

2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х.
3. Lim

y = 0, т.е. у=0 – ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.
4. Исследуем ф-ию на экстремум.
у' = - е .
Легко видеть, что у'=0 при х=а, у'>0 при ха. Согласно достаточному условию экстремума при х=а ф-ия имеет максимум:
уmax= .

(х- а)2

2σ2

σ3√2π

х - а

√2π

х→±∞

Слайд 16

5. Разность х-а содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е.

график симметричен относительно прямой х=а.
6. Исследуем ф-ию на точки перегиба (где график меняет характер выпуклости)
у'' = - е-(х-а)2/2σ2·[1 - ].

σ3√2π

(х-а)2

σ2

Слайд 17

у''=0 при х=а±σ, а при переходе через эти точки 2-ая производная

меняет знак (в обеих этих точках значение ф-ии равно
Таким образом, точки графика
(а – σ; ) и (а + σ; )
являются точками перегиба.

σ√2πe

Слайд 18

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
Известно, что график f(x-a)

получается параллельным переносом графика f(x) на а единиц масштаба вправо, если а>0.
Отсюда следует, что изменение величины параметра а (матем. ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если «а» возрастает, и влево, если «а» убывает. Иное дело с σ. Максимум нормальной кривой распределения равен .

σ√2π

Слайд 19

Отсюда следует, что с возрастанием σ максимум убывает, а сама кривая

становиться более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становиться более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.
Важно заметить, что при любых значениях а и σ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х остается равной 1.
(В частности при σ→0 получаем одно из определений дельта-функции Дирака).

Слайд 20

0 < σ1< σ2< σ3; а=0.
(σ1≈1⇨ кривую называют нормированной).
f(x)
х
0
σ1
σ2
σ3

Слайд 21

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Как известно
P (α

∫f(x)dx – вероятность
того, что случайная величина Х примет значения из (α; β).
Пусть Х – нормальная величина. Тогда
P (αЧтобы пользоваться готовыми таблицами, преобразуем эту формулу:
P (α

σ√2π

(х-а)2

2σ2

β-α

α-а

Слайд 22

тогда
P (|Х-а|<σ t) = 2Ф(t). Если t = 3 и,
следовательно, σ t = 3σ , то
P (|Х-а|<3σ) = 2Ф(3) = 2·0,49865 = 0,9973 ,
т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Слайд 25

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее

квадратичное отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Т.е. в 0,27% случаев так может произойти. Такие события можно считать практически невозможными.
Правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Слайд 26

На практике, если распределение неизвестно, но выполняется условие в правиле 3-х

сигм, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.
В противном случае она не распределена нормально.

Числовые характеристики непрерывной сл. в.Нормальное распределение без кривой Гаусса

Содержание

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные.
♦ Математическим ожиданием

♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если

Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных

Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей

Найдем мат. ожидание:
M(X) = ∫ x ·1· dx = х2/2 =

Нормальное распределение
Нормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью

Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0).
Нормированным

Локальная теорема Лапласа
При больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для

Ф-ла тем точнее, чем больше n.
Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица

Интегральная теорема Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом

Спасибо за внимание!

Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем ф-ию
у

2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х.
3. Lim

5. Разность х-а содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е.

у''=0 при х=а±σ, а при переходе через эти точки 2-ая производная

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
Известно, что график f(x-a)

Отсюда следует, что с возрастанием σ максимум убывает, а сама кривая

0 < σ1< σ2< σ3; а=0.
(σ1≈1⇨ кривую называют нормированной).
f(x)
х
0
σ1
σ2
σ3

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Как известно
P (α

Вычисления вероятности заданного отклонения
Часто требуется вычислить вероятность то, что отклонение нормально

В частности, при а=0
P (|Х|<δ) = 2Ф( ).
Т.е. чем меньше σ

Правило трех сигм
В ф-ле P (|Х-а|<δ) = 2Ф( ) положим δ=σ·t,

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее

На практике, если распределение неизвестно, но выполняется условие в правиле 3-х

Числовые характеристики непрерывной сл. в.Нормальное распределение без кривой Гаусса

Содержание

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные.♦ Математическим ожиданием

♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.Если

Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных

Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей

Найдем мат. ожидание:M(X) = ∫ x ·1· dx = х2/2 =

Нормальное распределениеНормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью

Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0).Нормированным

Локальная теорема ЛапласаПри больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для

Ф-ла тем точнее, чем больше n.Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица

Интегральная теорема ЛапласаВероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом

Спасибо за внимание!

Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).Исследуем ф-ию у

2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х.3. Lim

Похожие презентации

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные.
♦ Математическим ожиданием

♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если

Найдем мат. ожидание:
M(X) = ∫ x ·1· dx = х2/2 =

Нормальное распределение
Нормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью

Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0).
Нормированным

Локальная теорема Лапласа
При больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для

Ф-ла тем точнее, чем больше n.
Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица

Интегральная теорема Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем ф-ию
у

2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х.
3. Lim