Функция распределения вероятностей случайной величины

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Функция распределения вероятностей случайной величины

Содержание

2. Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин.
3. Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет
4. Свойства функции распределения 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2.
5. Пример №1. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х ≤ -1 F(x) = х/4+1/4
6. Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию, F(x) = x/4 + 1/4, то F(2) - F(0)
7. Пример №2. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х ≤ 2 F(x) = 0,5х
8. а) P(X б) P(X в) P(X ≥ 3) = ? Т.к. события Х≥3 и X P(X
9. Пример №3. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х ≤ 0 F(x) = х2
10. Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном испытании, равна P(0,25 = х2│ =
11. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна 0. Таким образом,
12. Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х1) означает, что событие X=х1 невозможно (если не ограничиваться
13. 5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то 1) F(х) = 0 при х
14. График функции распределения ] График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, y=1 (1 свойство). ] При
15. ] При х ≤ а ординаты графика равны 0; при х ≥ b ординаты графика равны
16. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Способ задания непрерывной случайной величины с помощью ф-ции распределения не
17. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) – первую производную от ф-ции распределения
18. Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х ≤ 0 F(x) = sinx
19. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а; b), равна определенному
20. Геометрический смысл: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение xЄ(а; b), численно равна площади криволинейной
21. Свойства плотности распределения 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x) ≥ 0. График плотности распределения называют
22. Геометрический смысл: вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна 1. В частности,
23. Вероятностный смысл плотности распределения Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Для достаточно
25. Скачать презентацию

Слайд 2

Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы,

например, для непрерывных случайных величин.
Действительно, пусть возможные значения случайной величины X полностью заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Нет.
Необходим общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Слайд 3

Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина

X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.
F(x) = P(X < x).
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Отсюда определение: случайную величину называют непрерывной, если ее ф-ция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая ф-ция с непрерывной производной.

Слайд 4

Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
0 ≤ F(x)

≤ 1.
2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е.
F(x2) ≥ F(x1), если х2 > х1.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале:
P (a

Слайд 5

Пример №1. Случайная величина Х задана функцией распределения
0 при х

≤ -1
F(x) = х/4+1/4 при -1<х≤3
1 при х > 3.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2):
P(0

Слайд 6

Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию,
F(x) = x/4 + 1/4,

то
F(2) - F(0) = (2/4 + 1/4) – (0/4 + 1/4) = 1/2.
Итак, P(0

Слайд 7

Пример №2. Случайная величина Х задана функцией распределения
0 при х

≤ 2
F(x) = 0,5х -1 при 2<х≤4
1 при х > 4.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.

Слайд 8

а) P(X<0,2) = F(0,2) = 0.
б) P(X<3) = F(3) = 0,5

∙ 3 – 1 = 0,5.
в) P(X ≥ 3) = ? Т.к. события Х≥3 и X<3 противоположны, то
P(X ≥ 3) = 1 - P(X<3) = 1 – 0,5 = 0,5.
г) P(X ≥ 5) = 1 - P(X<5) = 1 - F(5) = 1-1 = 0.

Слайд 9

Пример №3. Случайная величина Х задана функцией распределения
0 при х

≤ 0
F(x) = х2 при 0<х≤1
1 при х > 1.
Найти вероятность того, что в результате 4-х независимых испытаний величина Х ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Слайд 10

Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном испытании,

равна
P(0,25= х2│ = (3/4)2 – (1/4)2 = 9/16 -1/16 = 1/2.
Итак, р = 1/2, q = 1 – 1/2 = 1/2.
Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) ровно 3 раза в 4-х испытаниях, равна по ф-ле Бернулли:
Р4(3) = С43(1/2)3∙ 1/2 = 4 ∙ 1/16 = 1/4.

0,75

0,25

Слайд 11

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное

значение, равна 0.
Таким образом, имеет смысл рассматривать вероятность попадания случайной величины в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Напр., интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Слайд 12

Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х1) означает, что событие

X=х1 невозможно (если не ограничиваться классическим определением вероятности). В результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х1.

Слайд 13

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то
1) F(х)

= 0 при х ≤ а;
2) F(х) = 1 при х ≥ b.
] Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
Lim F(х) = 0; Lim F(х) = 1.
х→-∞ х→+∞

Слайд 14

График функции распределения
] График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, y=1

(1 свойство).
] При возрастании х в интервале (a; b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (2 свойство).

Слайд 15

] При х ≤ а ординаты графика равны 0; при х ≥

b ординаты графика равны 1.

F(x)1

Слайд 16

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Способ задания непрерывной случайной величины с

помощью ф-ции распределения не является единственным.
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую ф-цию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Слайд 17

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) –

первую производную от ф-ции распределения F(х):
f(х) = F'(х).
Отсюда функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Слайд 18

Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х
0 при х

≤ 0
F(x) = sinx при 0 < х ≤ π/2
1 при х > π/2.
Найти плотность распределения f(х).
0 при х < 0
f(х) = F'(x) = cosx при 0 < х ≤ π/2
1 при х > π/2.

Слайд 19

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее

интервалу (а; b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
P(а

Слайд 20

Геометрический смысл: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение xЄ(а;

b), численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми х = а и х = b.

f(x)

Слайд 21

Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
f(x) ≥ 0.
График

плотности распределения называют кривой распределения.
2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен 1.
∫f(x)dx = 1.

-∞

∞

Слайд 22

Геометрический смысл: вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой

распределения, равна 1.
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат (а; b), то
∫f(x)dx = 1.

Слайд 23

Вероятностный смысл плотности распределения
Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой

точки х.
Для достаточно малых ∆x.
F(x + ∆x) - F(x) ≈ f(x)∆x.
Т.к. разность F(x + ∆x) - F(x) определяет (см. выше) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; x + ∆x), то
эта вероятность, след-но, приближенно равна произведению плотности вероятности в т. х на длину интервала ∆х.

Функция распределения вероятностей случайной величины

Содержание

Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы,

Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина

Свойства функции распределения1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:0 ≤ F(x)

Пример №1. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х

Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию,F(x) = x/4 + 1/4,

Пример №2. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х

а) P(X<0,2) = F(0,2) = 0.б) P(X<3) = F(3) = 0,5

Пример №3. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х