Cпектры некоторых неинтегрируемых функции

s1(t)
и гармонического s2(t)=A0cosω0t

при
переходе переменной t через нуль.

Если передаточная функция цепи при ω=0 равна нулю, спектральную
плотность можно определять по формуле

(2.58)

(2.59)

спектральной плотностью функции s+(t)еxp(−σ1t).

(2.7`)

определяется выражением

(2.60)

Полученное соотношение называется преобразованием
(односторонним) Лапласа функции s+(t).

Соотношение (2.59) по аналогии с выражением (2.7) часто называют
обратным преобразованием Лапласа.

(2.59)

добавлением дуги ABC
при R→∞ (б)

при t <0.

прямой σ1–i∞, σ1+i∞)
и в соответствии с теорией вычетов интеграл (2.59) определяется
как

При t<0, т.е. при проведении дуги в правой полуплоскости

(2.62)

- сумма вычетов в полюсах подинтегральной функции

односторонние преобразования Лапласа).
Если на оси iω функция Ls(p) не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в (2.62) положить σ1=0, т. е. перейти от переменной р к переменной iω. В противном случае, чтобы избежать ошибки, необходимо определить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала.

(

Дело в том, что интегрирование функции Ls(p)ept по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в
полюсе р1=iω приводит к гармоническому колебанию с частотой ω1
и амплитудой 1/2. Спектральная плотность такого колебания, равная
πδ(ω–ω1), должна быть прибавлена к сплошному спектру,
обусловленному интегрированием по оси ω.

плотность будет

(2.71)
и т.д. (см. приложение 1).

Так, для функции Ls(р) с одним полюсом в точке р1=0 [s(t)=1, t >0]
мы ранее получили

(2.71)