Энергетические характеристики и разложение в ряд

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Энергетические характеристики и разложение в ряд

Содержание

2. Разложение колебаний по системам ортогональных функций удовлетворяет на некотором отрезке времени (t1, t2) условиям Если совокупность
3. Заданное колебание можно разложить по системе ортогональных функций, если можно записать и . (1.5) Величина называется
4. Одним из возможных критериев величины этой разности является интеграл от квадрата разности колебания и его разложения:
5. Для определения коэффициентов cn, обеспечивающих минимум Δ, умножим обе части (1.4) на и произведем интегрирование: .
6. Разложение периодических колебаний в ряд Фурье по системе тригонометрических функций (1.7)
7. или (1.8) (1.9)
8. Ряд Фурье в комплексной форме Положим α = nω1t + θn и обозначим Эту величину назовем
9. После этого ряд (1.8) можно записать в таком виде: где - величина, комплексно-сопряжённая Комплексную амплитуду можно
10. Формулы (1.12) и (1.13) можно называть парой преобразований Фурье. Вторая из них позволяет найти спектр, т.
11. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье периодической функции времени
13. (1.13): а)
14. Рис. 3. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье (1.13)
15. б) (1.14)
16. (1.15)
17. (1.16)
18. (1.19) (1.18) (1.17)
19. (1.20)
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Разложение колебаний по системам ортогональных функций
удовлетворяет на некотором отрезке времени (t1,

t2) условиям

Если совокупность функций

то ее называют системой ортогональных на отрезке (t1, t2)
функций. При этом предполагается, что никакая из функций
системы (1.1) не равна тождественно нулю, т.е.

(1.1)

(1.2)

Слайд 3

Заданное колебание можно разложить по системе ортогональных функций, если можно

записать

(1.5)

Величина

называется нормой функции

Функция

, для которой

называется нормированной, а соответствующая система ортогональных нормированных функций называется ортонормированной (ортонормальной)

и при конечном числе членов ряда разница между

будет достаточна мала.

(1.4)

(1.3)

Слайд 4

Одним из возможных критериев величины этой разности является интеграл от квадрата

разности колебания и его разложения:

Если для непрерывной функции s(t) можно выбрать xn так, что путем
увеличения количества членов в ряде Δ можно сделать сколь угодно
малым, то совокупность ортогональных (ортонормальных) функций
(1.1) называют полной. Ряд (1.4) называют в этом случае
сходящимся в среднем.

(1.5)

Слайд 5

Для определения коэффициентов cn, обеспечивающих минимум Δ, умножим обе части (1.4)

на

и произведем интегрирование:

.
В силу свойств ортогональности в правой части уравнения все слагаемые при m≠n обращаются в ноль, остается лишь член, соответствующий n=m. В результате получаем формулу для любого коэффициента cn

(1.6)

Слайд 6

Разложение периодических колебаний в ряд Фурье
по системе тригонометрических функций
(1.7)

Слайд 7

или
(1.8)
(1.9)

Слайд 8

Ряд Фурье в комплексной форме
Положим α = nω1t + θn

и обозначим

Эту величину назовем комплексной амплитудой n-й гармоники.
Она содержит данные и об амплитуде и о начальной фазе n-й гармоники.

(1.11)

(1.10)

Слайд 9

После этого ряд (1.8) можно записать в таком виде:
где
- величина, комплексно-сопряжённая

Комплексную амплитуду можно вычислить непосредственно по заданному
s(t), минуя вычисления an и bn и применение выражений (1.10). Действительно,

Подставляя сюда (1.9) и объединяя интегралы, получаем

(1.12)

(1.13)

Слайд 10

Формулы (1.12) и (1.13) можно называть парой преобразований Фурье.
Вторая из них

позволяет найти спектр, т. е. совокупность гармонических
составляющих, образующих в сумме s(t); первая – вычислить s(t), если
заданы гармонические составляющие (гармоники)

Формулу (1.12) можно представить в другом виде

Две характеристики – амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы
комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру
частотного спектра периодического колебания.
Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным,
так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам
0, ω1, 2ω1, 3ω1 и т. д.

(1.12а)

Слайд 11

Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье
периодической функции времени

Слайд 12

Слайд 13

(1.13):
а)

Слайд 14

Рис. 3. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье
(1.13)

Слайд 15

б)
(1.14)

Слайд 16

(1.15)

Слайд 17

(1.16)

Слайд 18

(1.19)
(1.18)
(1.17)

Слайд 19

Энергетические характеристики и разложение в ряд

Содержание

Разложение колебаний по системам ортогональных функций удовлетворяет на некотором отрезке времени (t1,

Заданное колебание можно разложить по системе ортогональных функций, если можно

Одним из возможных критериев величины этой разности является интеграл от квадрата

Для определения коэффициентов cn, обеспечивающих минимум Δ, умножим обе части (1.4)

Разложение периодических колебаний в ряд Фурьепо системе тригонометрических функций(1.7)

или(1.8)(1.9)

Ряд Фурье в комплексной форме Положим α = nω1t + θn

После этого ряд (1.8) можно записать в таком виде:где- величина, комплексно-сопряжённая

Формулы (1.12) и (1.13) можно называть парой преобразований Фурье.Вторая из них

Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье периодической функции времени

(1.13):а)

Рис. 3. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье(1.13)

б)(1.14)