ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Содержание

2. Лекция 3.1 Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности. Геометрический и физический смысл производной и
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в U(x0), называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение при переходе
4. Определение производной функции в точке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция f(x) определена в U(x0) и х – произвольная
5. ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она
6. Достаточность. Пусть f(x) имеет производную в точке xo, то есть существует Следовательно Δy /Δx = f
7. ЗАМЕЧАНИЕ. Приращение Δх часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции
8. ТЕОРЕМА. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть
9. ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в этой точке производной. Пример 1.
10. Пример 2. 1 1 - 1 - 1 0 x y → 0 при х →
11. Геометрический смысл производной и дифференциала. Пусть функция f(x) определена в U(x0) и дифференцируема в точке х0.
12. Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей Δу/Δх → f ′(x0) при Δх
13. Из уравнения касательной, в частности, получим у – у0 = f ′(x0) (х – х0) =
14. Физические приложения производной и дифференциала. Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, то
15. Правила дифференцирования. Дифференцирование суммы, произведения и частного ТЕОРЕМА . Если функции f и g дифференцируемы в
16. Пусть у = f⋅g. Тогда Пусть у = f / g. Тогда
17. Дифференцирование обратной функции ТЕОРЕМА Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [x0-
18. Заметим, что Δу ≠ 0, если Δх ≠ 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому при
19. Дифференцирование сложной функции ТЕОРЕМА Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке x0, у0 = f(x0),
20. Здесь Δх→ 0 при Δt→0 в силу непрерывности функции ϕ (t) в точке t0. при Δt→0.
21. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 3.1
Дифференцируемость функции в точке.
Связь дифференцируемости и непрерывности.
Геометрический и

физический смысл производной и дифференциала.
Правила дифференцирования.

Слайд 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция f(x), определенная в U(x0), называется дифференцируемой в точке х0,

если ее приращение при переходе из точки хо в точку х = х0+Δх можно представить в виде
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = А(x0)Δx + о(Δx) при Δх→0,
где А(x0) – не зависит от Δx .
Главная линейная относительно Δx часть приращения функции А(x0)Δx – называется дифференциалом функции в точке х0 при приращении Δx и обозначается df(х0; Δx) или df(х0) или df или dу.
Таким образом
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = df(х0; Δx) + о(Δx) при Δх→0.

Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.

Слайд 4

Определение производной функции в точке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция f(x) определена в

U(x0) и х – произвольная точка этой окрестности. Если существует предел отношения
при х → х 0, то этот предел называется производной функции f(x) в точке х0 и обозначается f '(x0), то есть
Пусть Δx = x – x0 – приращение аргумента при переходе из точки х0 в точку х, а Δy = f(x0+Δx) – f(x0) – соответствующее приращение функции.
Тогда
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Слайд 5

ТЕОРЕМА.
Для того чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0,

необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке.
При этом дифференциал и производная связаны равенством:
df(х0; Δx) = f '(x0) Δх.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть f(x) дифференцируема в точке xo, то есть
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = А(x0)Δx + о(Δx) при Δх → 0,
откуда
Δy /Δx = А(x0) + о(1) при Δх→0,
следовательно существует
то есть функция имеет в точке x0 производную f '(x0) = А(x0).

Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке.

Слайд 6

Достаточность.
Пусть f(x) имеет производную в точке xo, то есть существует
Следовательно

Δy /Δx = f '(x0) + о(1) при Δх → 0,
откуда
Δy = f '(x0) Δх + о(Δх) при Δх → 0,
то есть функция дифференцируема в точке x0 и
df(х0; Δx) = f '(x0) Δх.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Слайд 7

ЗАМЕЧАНИЕ.
Приращение Δх часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой

переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x0 можно записать в виде
df(х0) = f '(x0) dх.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx:
dy = f '(x) dx.
Отсюда, в частности, получается выражение для производной
То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Слайд 8

ТЕОРЕМА.
Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в

этой точке.
Доказательство.
Пусть существует
Тогда
Отсюда получим, что
f (x) – f (x0) = (f '(x0) + о(1)) (х – х0) → 0 при х → х0 .
то есть f(x) непрерывна в точке x0.

Непрерывность дифференцируемой функции.

Слайд 9

ЗАМЕЧАНИЕ.
Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в

этой точке производной.
Пример 1. f (x) = ⎜х ⎜.
Функция непрерывна в точке х = 0.
Рассмотрим

Предел не существует, так как

Итак, функция f (x) = ⎜х ⎜не имеет производной в точке
х = 0, хотя непрерывна в этой точке.

Слайд 10

Пример 2.
1
1
- 1
- 1
0
x
y
→ 0 при х → 0.
→ ∞

при х → 0.

Т.е. f(x) непрерывна в точке х = 0.

Т.е. f(x) не имеет производной в точке х = 0 и, следовательно,
не дифференцируема в этой точке.

Слайд 11

Геометрический смысл производной и дифференциала.
Пусть функция f(x) определена в U(x0) и

дифференцируема в точке х0.

М0

x0+ Δx

Δy

Δx

y = f(x)

y0+Δу

L – секущая

L0 – касательная

Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) → 0 при Δх → 0
в силу непрерывности функции.

Касательной к графику функции у = f(x) в точке М0 называется
предельное положение секущей L при Δх → 0.

Слайд 12

Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей
Δу/Δх

→ f ′(x0) при Δх → 0
и уравнение касательной имеет вид
у = у0 + f ′(x0) (х – х0).
Если же
Δу/Δх → ∞ при Δх → 0,
то прямая
х = х0 ,
получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной
касательной к графику функции в точке М0.
Нормалью к графику функции в точке М0 называется прямая,
перпендикулярная касательной, проходящая через точку М0.
Ее уравнение имеет вид
у = у0 – 1/f ′(x0) (х – х0).

Слайд 13

Из уравнения касательной, в частности, получим
у – у0 = f

′(x0) (х – х0) = df(х0) –
приращение ординаты касательной при переходе из точки х0 в точку х.

М0

x0+ Δx

dy = df(х0; Δx) = f ′(x0) Δx

Δx

y = f(x)

f(x0)

f(x0 +Δx )

⎜EM⎜= o(Δx ) при Δx →0

tgα= f ′(x0)

Слайд 14

Физические приложения производной и дифференциала.
Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой

за время t, то S '(t) – мгновенная скорость материальной точки, а dS = S '(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t.
Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q '(t) = I – сила тока.
Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N '(t) – скорость химической реакции.

Слайд 15

Правила дифференцирования.
Дифференцирование суммы, произведения и частного
ТЕОРЕМА .
Если функции f и g

дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, f⋅g, f /g (если g(x) ≠ 0) и при этом
(f(х) + g(х))' = f '(х) + g '(х)
(f(х)⋅g(х))' = f '(х)⋅g(х) + f (х)⋅g '(х)
(f (х) /g(х))' = (f '(х)⋅g(х) – f (х)⋅g'(х))/g2(х)
Следствие.
Доказательство теоремы.

1. Пусть у = f + g. Тогда

Если f (х) дифференцируема в точке х и С = const, то

(С⋅f(x))' = С⋅f '(x);

(f(x)/С)' = f '(x)/С.

Слайд 16

Пусть у = f⋅g. Тогда
Пусть у = f / g. Тогда

Слайд 17

Дифференцирование обратной функции
ТЕОРЕМА
Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна

на отрезке [x0- δ, x0 + δ] и имеет производную f '(x0) ≠ 0, тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у0 = f(x0), причем
g '(y0) = 1/ f '(x0).
Доказательство.
Пусть f(x) строго возрастает на отрезке [x0- δ, x0+ δ].
Пусть α = f(x0- δ), β = f(x0+ δ).
Тогда на отрезке [α, β] определена обратная функция x = g(y),
непрерывная и строго возрастающая, причем f(x0)∈ (α, β).

x0 - δ

x0 + δ

у0=f(x0)

Δx

Δу

у = f(x)

x = g(y)

Пусть Δу таково, что у0+Δу ∈ (α, β).

Обозначим Δх = g(y0+Δу) - g(y0).

Нужно доказать, что существует

Слайд 18

Заметим, что Δу ≠ 0, если Δх ≠ 0, в силу

строгой монотонности функции. Поэтому при Δу ≠ 0 имеем:
Пусть Δу → 0, тогда и Δх → 0 , так как функция x = g(y) непрерывна в точке у0. Но если Δх → 0, то существует
Итак, правая часть тождества имеет предел, равный 1/f ' (x0).
Следовательно, существует и

Слайд 19

Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке x0,

у0 = f(x0),
а функция x = ϕ (t) дифференцируема в точке t0 , x0 = ϕ ( to).
Тогда сложная функция у = f (ϕ (t)) дифференцируема в точке t0 и
f 't (ϕ ( t0)) = f 'x (x0)·ϕ 't ( t0)
или
Доказательство.
Δy = f(x) – f(x0) = f '(x0)Δx + о(Δx) при Δх → 0,
Δx = ϕ (t) – ϕ (t0) = ϕ '(t0)Δt + о(Δt) при Δt → 0,
Δy = f (ϕ (t)) – f (ϕ (t0)) = f '(x0)( ϕ '(t0 )Δt + о(Δt)) + о(Δx) =
= f '(x0)ϕ '( t0 )Δt + f '(x0)о(Δt)+ о(Δx)

Слайд 20

Здесь Δх→ 0 при Δt→0 в силу непрерывности функции ϕ (t)

в точке t0.
при Δt→0.
Следовательно

ЗАМЕЧАНИЕ.

Правило вычисления производной сложной функции распространяется
на композицию любого конечного числа функций. Например:

(f (ϕ (g(x))))' = f '(ϕ (g(x)))⋅ϕ'(g(x))⋅g'(x).

Слайд 21

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Содержание

Лекция 3.1Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности. Геометрический и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в U(x0), называется дифференцируемой в точке х0,

Определение производной функции в точке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция f(x) определена в

ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0,

Достаточность. Пусть f(x) имеет производную в точке xo, то есть существуетСледовательно

ЗАМЕЧАНИЕ. Приращение Δх часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой

ТЕОРЕМА. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в

ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в

Пример 2.11- 1- 10xy→ 0 при х → 0. → ∞

Геометрический смысл производной и дифференциала. Пусть функция f(x) определена в U(x0) и

Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей Δу/Δх

Из уравнения касательной, в частности, получим у – у0 = f

Физические приложения производной и дифференциала.Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой

Правила дифференцирования.Дифференцирование суммы, произведения и частного ТЕОРЕМА . Если функции f и g

Пусть у = f⋅g. ТогдаПусть у = f / g. Тогда

Дифференцирование обратной функцииТЕОРЕМА Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна