Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДУ первого порядка

называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и

ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной:

Дифференциальная форма ДУ 1-го порядка

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными

ДУ 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может

Х1(х)Y(y)

ПРИМЕР:

С2=2С1

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

ДУ вида

приводятся к уравнениям с

2. Однородные ДУ 1-го порядка

Многочлен

называется однородным измерения n, если все члены его имеют одно и

.

ПРИМЕР:
однородный многочлен 2-го измерения

.

Замечание:

Если аргументы x и y однородного многочлена измерения n заменить на

.

Функция f (x, y) называется однородной n–го измерения относительно своих аргументов х

.

Является ли однородной функция

ПРИМЕР:

.

Является ли однородной функция

ПРИМЕР:

ДУ 1-го порядка называется однородным, если функции P(x, y) и Q(x,

При dy стоит коэффициент, равный 1, т.е. однородная функция 0-го измерения;

ДУ 1-го порядка является однородным тогда и только тогда, когда правая

Замечание:

Функция f (x, y) есть однородная функция 0-го измерения, если она не меняется

Уравнения, приводящиеся к однородным

то переменные могут быть разделены подстановкой

где α

Уравнения, приводящиеся к однородным

то переменные могут быть разделены подстановкой

3. Линейные ДУ 1-го порядка

ДУ называется линейным

относительно неизвестной функции и ее производной, если оно

Однородное ЛДУ

Неоднородное ЛДУ

Линейные однородные ДУ

Общее решение

Линейные неоднородные ДУ

Метод Бернулли.
2) Метод Лагранжа.

Бернулли Якоб (1654-1705) – швейцарский

Метод Бернулли

Искомая функция представляется в виде произведения двух функций

Метод Бернулли

Искомая функция представляется в виде произведения двух функций

Метод Бернулли

Важное замечание
т.к. первоначальная функция была представлена нами в

Метод Бернулли

Таким образом, можно одну из составляющих произведения функций выбрать

Метод Бернулли

Метод Бернулли

Метод Бернулли

;

Метод Бернулли

;

Метод Бернулли

;

Решение неоднородного ЛДУ в общем виде по способу

Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

1) Отбросим правую часть:

Метод Лагранжа

2) Будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа

;

Решение неоднородного ЛДУ в общем виде по способу

4. Уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли

где P и Q – функции от х или

Уравнение Бернулли

применяют подстановку ,
помощью которой, уравнение Бернулли приводится к

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли

линейное уравнение относительно неизвестной функции z