Динамика точки

Курс теоретической механики. Часть 2.
3. Цывильский В.Л. Теоретическая механика.
4. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики. Часть 2.
Учебники других авторов.

Задачники
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике.
2. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Часть 2.

Пособия
Теоретическая механика. Ч3 (1) – Динамика точки. Методические указания по выполнению расчетно - графических работ для студентов дневной формы обучения специальности АДиА

учение о движении

инертность тел

Д И Н А М И К А

Силы

постоянные

зависят от положения тела

переменные

зависят от времени

зависят от скорости

Для переменных сил справедливы все положения статики.

активные (заданные) силы

реакции связей (реактивные) силы

Статика –
учение о силах

+

называемая массой тела.

Свойства массы в классической механике. В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Понятие инертности. Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела.

материального тела в качестве материальной точки

Материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела.

материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.
1638 г. - Галилей

Аристотель –
движение тел происходит только под действием сил

Галилей –
движение тел может происходить по инерции

Понятие инерциальных систем отсчета
Система отсчета, в которой справедлив закон инерции, называется инерциальной.

равенством

Второй закон (основной закон динамики)

Произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Для несвободной материальной точки закон имеет вид

где

сумма реакций связей.

В случае двух сил

основной закон динамики имеет вид

модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Третий закон
(закон равенства действия и противодействия)

Закон использовался в статике в виде аксиомы действия и противодействия.

определить действующую на нее силу;

2 задача. Зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (основная задача динамики).

2 (основная) задача динамики распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

Для несвободной материальной точки

1 задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию;

друга систем единиц.

Системы типа СИ
В основе единицы: длины, времени и массы.

Система МКГСС
В основе единицы: длины, времени и силы.

Основные единицы:
метр (м), секунда (с)
килограмм массы (кг).

Основные единицы:
метр (м), секунда (с),
килограмм силы (кГ).

Производная единица – сила 1 Н = 1кг м/с2.

Производная единица – масса 1 кг = 1кГ с2 / м.

Соотношение между единицами силы с системах СИ и МКГСС 1 кГ = 9,81 Н или 1 Н = 0,102кГ.

т.д.

Сила тяжести Р = m g

Сила трения F = f N

Сила упругости
F = c λ

Сила вязкого трения
F = μ ν

Постоянная сила, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности.

Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело.

Значение силы упругости определяется из закона Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации.

Сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде.

z = f3(t)

Определить силу

2 задача

Дано: сила (силы)

Определить
х = f1(t), у = f2(t), z = f3(t)

декартовых координатах

Второй закон динамики

В проекциях на оси декартовых координат х, у, z

Это дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

Правые части могут функциями переменных t, х, у, z,

М τn b :
М τ - касательная;
М n – главная нормаль;
М b – бинормаль.

Второй закон динамики

В проекциях на оси естественного трехгранника М τn b :

Это дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

Здесь учтено, что

сила находятся из уравнения.

Реакция связи - из уравнения,

дополнительно необходимо знать активные силы

Известны уравнения движения точки
х = f 1 (t), у = f 2 (t), z = f 3 (t).

Силы находятся из дифференциальных уравнений движения точки.

начинает подниматься с ускорением а.

Определить натяжение троса Т.

Решение.

Второй закон динамики для данной задачи имеет вид

В проекции на вертикаль получим
Р/g · а = Т – Р.

Или Т = Р( 1 + а / g).

Если лифт опускается с тем же ускорением, то Т = Р( 1 - а / g).

при прямолинейном движении точки

Дифуравнение движение точки одно

Уравнение можно записать в виде

C математической точки зрения в виде

Общее решение дифуравнения – х = f ( t, C1 , C 2 ), где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Находятся из начальных условий.

При прямолинейном движении начальные условия имеют вид: при t = 0 х = х0 Vx = V0.

После нахождения С1 и С2 частное решение уравнения будет иметь вид х = f (t, x0, V0).

точки.

Задача. Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы

значение которой растет по закону F =k t.

Определить закон движения груза.

Решение. (Действуем по следующему алгоритму)

1. Выберем начало отчета, совместив его с начальным положением точки.

2. Проведем координатную ось, направленную в сторону движения.

3. Изобразим точку (груз) в произвольном положении.

уравнение динамики применительно к данной задаче в векторном виде

4. Приложим к точке все действующие на нее силы.

7. Преобразуем дифференциальное уравнение к виду, удобному для интегрирования:

8. Запишем начальные условия: при t = 0 x0 = 0 Vx0 = 0 .

9. Проинтегрируем дифференциальное уравнение и определим постоянные интегрирования.