Принципы механики. принцип возможных перемещений

Пример применения принципа возможных перемещений (Задание Д6).

ВОПРОСЫ ТЕМЫ

Опр. Связи, не изменяющиеся со времени, называются стационарными, а изменяющиеся со временем – нестационарными.

3. Связи делятся на интегрируемые и неинтегрируемые.

Опр. Если дифференциальную связи можно представить как геометрическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае – неинтегрируемой.

4. Связи делятся на голономные и неголономные.

Опр. Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются связями голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.

5. Связи делятся на удерживающие и неудерживающие.

Опр. Удерживающими связями называются связи, которые накладывают ограничения, сохраняющиеся при любом положении системы, неудерживающимися – связи, которые этими свойствами не обладают (от таких связей система может «освобождаться»).

Ответы № 3 вытекают из определений соответствующих связей.

1) неудерживающие, нестационарные, неголономные

2) удерживающие, стационарные, неголономные

3) неудерживающие,стационарные,голономные(геометрическ.)

4) неудерживающие,нестационарные,голономные (геометрич.)

5) удерживающие, нестационарные,неголономные

ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ.
ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.

Существуют только в нашем воображении.
Являются элементарными (бесконечно малыми).
Не нарушают наложенных на систему связей.

Эти перемещения называются возможными (или виртуальными) перемещениями. Они удовлетворяют следующим требованиям:

Это отражается в обозначениях: обычно элементарное действительное перемещение обозначается как ds, dх, dу, dz и т. д., возможное перемещение точки обозначается δs, δх, δу, δz и т. д.

В математике символом «d» обозначается дифференциал функции, а символом «δ» обозначают вариацию функции. Однако формально они вычисляются одинаково.

При стационарных связях действительное перемещение точки

При нестационарных связях таких совпадений нет.

совпадает с одним из возможных

Опр. Возможными (или виртуальными) перемещениями механической системы называется любая совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

Аналогом существования независимых величин, с помощью которых можно выразить другие величины, являются единичные орты декартовой системы координат

Для точки, находящейся на некоторой поверхности, любое возможное перемещение

вдоль этой плоскости можно выразить через два независимых перемещения

в виде

Вывод. У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы.

Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат.

Принцип возможных перемещений устанавливает общие условия равновесия.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

Принцип формулируется в случае, когда все наложенные на систему связи стационарные.

связи - символом

Это равенство может быть представлено в аналитической форме

Принцип возможных перемещений. Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю, т.е.

(1)

(2)

реакция, перпендикулярная
направляющим, и реактивный момент – МА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

На составную балку АВ действует распределенная нагрузка интенсивности q = 2 кН/м, наклонная сила F = 4 кН и пара сил с моментом М = 5 кН м. а = 2 м.

Наложены связи: в точке В – неподвижная шарнирная опора, в точке Е – горизонтальная скользящая заделка.
О п р е д е л и т ь: XВ, УВ, УЕ, МЕ.

1. Заменим неподвижный шарнир В подвижным шарниром и реакцией

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Часть балки АС может поступательно перемещаться влево или вправо по горизонтали на

3. Сумма возможных работ всех сил и пар сил, действующих на балку, по принципу Лагранжа должна быть равна нулю.

 ΣδАk = XВ δs + F cos (600) δs = 0,

Обозначим

Шарнир В может перемещаться влево или вправо на

М.ц.с. для ВС лежит в ∞.

∞

Т.е.

Или

Возможное перемещение балки будет поступательным на δs.

Откуда находим XВ = – F cos (600) = – F / 2 = – 2 (кН).

Знак минус указывает на то, что реакция направлена влево.

В) Определим вертикальную реакцию в шарнире В.

1. Заменим неподвижный шарнир В подвижным шарниром и реакцией

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Часть балки АС может перемещаться только поступательно влево или вправо, так как в точке Е скользящая заделка.

Шарнир В может перемещаться только вертикально на

 ΣδАk = М δφ – F cos (300) 2 а δφ + УВ 4 а δφ = 0.

Откуда находим УВ = F cos (300) / 2 – М / (4а) = 1,12 (кН).

М. ц. с. для части балки СВ будет в точке С.

Часть балки ВС может поворачиваться вокруг м. ц. с. (т. С) на угол δφ.

3. Сумма возможных работ всех сил и пар сил, действующих на балку, по принципу Лагранжа должна быть равна нулю.

Примечание. Применим выражение для работы силы, приложенной к вращающемуся телу: δА = ± М0Z(F) · δφ .

1. Заменим скользящую заделку шарнирно подвижной опорой и неизвестным реактивным моментом МЕ.

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Связи допускают только поворот части балки ВС вокруг шарнира В на угловое перемещение δφ1.

3. Составим уравнение возможных работ (1).

 ΣδА k = – М δφ1 – F cos (300) 2 а δφ1 + МЕ δφ2 + Q 3а δφ2 = 0. (3)

М.ц.с. для части балки АС будет в точке Е.
Обозначим угол поворота АС вокруг м. ц. c. через δφ2 .

Выразим δφ2 через δφ1.
δsc = 4 a δφ1 = 2 a δφ2, т. е. δφ2 = 2 δφ1.

 Подставляя последнее соотношение в уравнение (3) и разделив на δφ1, получим:
– М – F cos (300) 2 а + 2 МЕ + Q 3 а 2 = 0,

Откуда найдем: МЕ =М / 2 + F cos (300) а – Q 3а = – 38,57 (кНм).

D) Определим вертикальную реакцию в скользящей заделке, наложенной на точку Е балки.

1. Заменим скользящую заделку двойной скользящей заделкой, и вертикальной реакцией

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Часть балки ВС может повернуться вокруг шарнира В. Обозначим это угловое перемещение δφ.

Тогда другая часть балки АС переместится поступательно на величину δs вверх.

 Учитывая, что δφ = 4 а δs, из уравнения (4) найдем
УЕ = М /4а + F cos (300) / 2 + Q = 10,36 (кН).

Е) Сделаем проверку.

Используем уравнения равновесия в основной форме:
ΣFkX = 0, ΣFkУ = 0,

ΣFkX = ХВ + F cos600 = 0, (1)
ΣFkУ = УВ + УЕ – Q – F cos300 = 0, (2)

= Q 5а –УЕ 2а + МЕ + М – F cos (300) 2а + УВ 4а = 0. (3)

Заменим все внешние опоры их реакциями.

Примечание 1. В тех вариантах, где нет жесткой заделки или скользящей заделки, уравнение (3) (ΣМС = 0) можно не составлять.

Подставляя в уравнение (1) найденную реакцию ХВ , получим:
ΣFkX = XВ + F cos (600) = – 2 + 4/2 ≡ 0.

Подставляя в уравнение (2) реакции УВ и УЕ , найдем:
ΣFkУ = УВ + УЕ – Q – F cos300 = 1,12 + 10,36 – 8 – 3,48 ≡ 0.

= 8 .5 . 2 – 10,36 . 2 . 2 – 38,57 + 5 – 4 . 2 . 2 / 2 +1,12 . 4 .2=
= 93,96 – 93,88 = 0,08 ≈ 0.

Ответ: УВ = 1,12кН, XВ = – 2кН, УЕ =10,36кН, МЕ = – 38,57кНм.

Подставляя в уравнение (3) реакции УВ ,УЕ и момент МЕ, найдем:

надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при данном угле наклона α. Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения.

Применение принципа возможных перемещений к простейшим системам.

Решение.

1. Определим число степеней свободы системы.
Если пренебречь трением качения, то плоскость для катков будет идеальной связью. При качении без скольжения у системы одна степень свободы.

3.Запишем уравнение возможных работ:
F δsB – Q sinα δsB – 2Р sinα δsC = 0.

4. Выразим перемещение δsC через перемещение бревна δsB:
δsC = δsB / 2.

5. Подставляя перемещение δsВ ≠ 0 в уравнение возможных перемещений, и поделив на него, получим:
F – (Q + Р) sinα = 0.

Из последнего выражения находим:
F = (Q + Р) sinα.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи.

то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Применяя последовательно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений получим общий метод решения задач динамики.

и реакций связей

Применяя к этим силам принцип Лагранжа, получим

Принцип Даламбера – Лагранжа. При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Равенство (3) называют также общим уравнением динамики.

В аналитической форме уравнение (3) имеет вид

(4)

Уравнения (3) и (4) позволяют составить дифференциальные уравнения движения системы.

Барабан, на котором на котором намотана веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен Р2 , а радиус инерции относительно оси вращения ρ2.. Радиусы шестерней равны соответственно r1, r2, а радиус барабана r.

Изображаем действующую на систему активную силу

и вращающий момент М (другие силы работу не совершают).

Решение.

Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение (3), получим

3. Выражая все перемещения через δφ2

или

В результате найдем окончательно

Общее уравнение динамики
Р2δs – F2И δs – F1И δs – Р1δs = 0.
Поделив уравнение на δs, и вычисляя силы инерции
F2И = m2 a, F1И = m1 a, получим g (3 m1 - m1) = a (3 m1 + m1).
Откуда а = g/2 = 5 м/с2.

Грузы 1 и 2, массы которых m2 = 3m1, прикреплены к тросу, переброшенному через блок радиуса r. Если принять g =10 м/с2 и пренебречь массой блока, то ускорение грузов равно…