Интервальное оценивание

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Интервальное оценивание

Содержание

2. Интервальное оценивание Пусть, как обычно, имеется выборка из распределения с неизвестным параметром θ. До сих пор
3. Определение. Доверительным интервалом уровня значимости α (0 P(I1(X) ≤ θ ≤ I2 (X)) = 1 –
4. Смысл доверительного интервала Таким образом, (1 – α) –доверительный интервал – случайный интервал, который с вероятностью
5. Уровень значимости α Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1. Уровень
6. Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ).
7. Продолжение
8. Квантили нормального распределения
9. Квантили нормального распределения
10. Окончательный ответ:
11. Замечание Значения квантилей находят в таблицах. Приведем наиболее часто используемые квантили стандартного нормального распределения N(0,1): u0.95
12. Пример Найти доверительный интервал уровня значимости α = 0.05 для неизвестного математического ожидания а нормально распределенного
13. Все величины известны. Подставив u0.975 = 1.96, = 14, σ = 5, n = 25, окончательно
14. Схема построения доверительного интервала Т.о., надо взять статистику G(x, θ), такую, что она сама зависит от
15. Как найти γ1 и γ2 В качестве γ1 и γ2 будем использовать квантили распределения статистики G(x,
16. Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ) (при неизвестном σ)
17. Окончательный ответ (при неизвестном σ) :
18. Доверительный интервал для параметра σ нормального распределения N(a,σ).
19. Продолжение
20. Окончательный ответ:
21. Асимптотический доверительный интервал Если оценка параметра асимптотически нормальна и несмещена, (например, является о.м.п.), то
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Интервальное оценивание
Пусть, как обычно, имеется выборка из распределения с неизвестным

параметром θ. До сих пор мы занимались «точечным оцениванием» неизвестного параметра — находили приближенное значение параметра ( его оценку).
Существует другой подход к оцениванию, при котором мы указываем интервал, накрывающий параметр с заданной наперед вероятностью. Такой подход называется «интервальным оцениванием».

Интервальное оценивание

Слайд 3

Определение.
Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α <1) для параметра θ

называется интервал I=[I1, I2], для которого выполняется условие:
P(I1(X) ≤ θ ≤ I2 (X)) = 1 – α.
Число 1 – α называется доверительной вероятностью, а I1(X), I2 (X)
– нижней и верхней доверительными границами.

Слайд 4

Смысл доверительного интервала
Таким образом, (1 – α) –доверительный интервал –

случайный интервал, который с вероятностью 1 – α накрывает истинное значение параметра θ.
(Параметр – неслучайная величина, а границы интервала случайны, поэтому читают формулу как «интервал накрывает параметр», а не как « параметр попадает в интервал»).

Слайд 5

Уровень значимости α
Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005,

0.01, 0.05, 0.1. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала. Чем меньше α , тем больше доверительная вероятность и тем надежнее доверительный интервал, но более надежный интервал является более широким и менее информативным. Стандартный уровень значимости α =0.05. Соответствующий доверительный интервал называется 95% –м.

Слайд 6

Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ).

Слайд 7

Продолжение

Слайд 8

Квантили нормального распределения

Слайд 9

Квантили нормального распределения

Слайд 10

Окончательный ответ:

Слайд 11

Замечание
Значения квантилей находят в таблицах. Приведем наиболее часто используемые квантили стандартного

нормального распределения N(0,1):
u0.95 = 1.64,
u0.975 = 1.96,
u0.995 = 2.58.

Слайд 12

Пример
Найти доверительный интервал уровня значимости α = 0.05 для неизвестного математического

ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если σ = 5, выборочное среднее =14 и объем выборки n = 25.

Слайд 13

Все величины известны. Подставив
u0.975 = 1.96, = 14, σ =

5, n = 25, окончательно получим искомый доверительный интервал
12,04 ≤ а ≤ 15,96.

Слайд 14

Схема построения доверительного интервала
Т.о., надо взять статистику G(x, θ), такую, что

она сама зависит от параметра θ, а ее распределение от θ не зависит, записать уравнение
P(γ1 ≤ G(x, θ) ≤ γ2) = 1 – α,
и разрешить неравенство под знаком вероятности относительно параметра θ.

Слайд 15

Как найти γ1 и γ2
В качестве γ1 и γ2 будем использовать

квантили распределения статистики G(x, θ):
γ1=Gα/2, γ2=G1 –α/2
Напоминание. Квантиль порядка q отсекает слева 100∙q% значений случайной величины.

Слайд 16

Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ) (при неизвестном σ)

Слайд 17

Окончательный ответ (при неизвестном σ) :

Слайд 18

Доверительный интервал для параметра σ нормального распределения N(a,σ).

Слайд 19

Продолжение

Слайд 20

Окончательный ответ:

Слайд 21

Асимптотический доверительный интервал
Если оценка параметра асимптотически нормальна и несмещена, (например,
является

о.м.п.), то

Интервальное оценивание

Содержание

Интервальное оценивание Пусть, как обычно, имеется выборка из распределения с неизвестным

Определение.Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α <1) для параметра θ

Смысл доверительного интервала Таким образом, (1 – α) –доверительный интервал –

Уровень значимости αЕго обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005,

Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ).

Продолжение

Квантили нормального распределения

Квантили нормального распределения

Окончательный ответ:

ЗамечаниеЗначения квантилей находят в таблицах. Приведем наиболее часто используемые квантили стандартного

ПримерНайти доверительный интервал уровня значимости α = 0.05 для неизвестного математического

Все величины известны. Подставив u0.975 = 1.96, = 14, σ =

Схема построения доверительного интервалаТ.о., надо взять статистику G(x, θ), такую, что

Как найти γ1 и γ2В качестве γ1 и γ2 будем использовать

Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ) (при неизвестном σ)

Окончательный ответ (при неизвестном σ) :

Доверительный интервал для параметра σ нормального распределения N(a,σ).

Продолжение

Окончательный ответ:

Асимптотический доверительный интервалЕсли оценка параметра асимптотически нормальна и несмещена, (например, является

Похожие презентации

Интервальное оценивание
Пусть, как обычно, имеется выборка из распределения с неизвестным

Определение.
Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α <1) для параметра θ

Смысл доверительного интервала
Таким образом, (1 – α) –доверительный интервал –

Уровень значимости α
Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005,

Замечание
Значения квантилей находят в таблицах. Приведем наиболее часто используемые квантили стандартного

Пример
Найти доверительный интервал уровня значимости α = 0.05 для неизвестного математического

Все величины известны. Подставив
u0.975 = 1.96, = 14, σ =

Схема построения доверительного интервала
Т.о., надо взять статистику G(x, θ), такую, что

Как найти γ1 и γ2
В качестве γ1 и γ2 будем использовать

Асимптотический доверительный интервал
Если оценка параметра асимптотически нормальна и несмещена, (например,
является