Исследование функций при помощи производных. Общая схема исследования функции и построения графика

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Исследование функций при помощи производных. Общая схема исследования функции и построения графика

Содержание

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
3. §1. Исследование функций при помощи производных. Возрастание и убывание функции §2. Максимум и минимум функции. Наибольшее
4. §1. Исследование функций при помощи производных. Возрастание и убывание функции
5. §1. … Возрастание и убывание функции (продолжение)
6. Т е о р е м а 2 (достаточные условия, ⇐). Если функция y = f(x)
7. П р и м е р 1. Исследовать функцию f(x) = x3 − 3x − 4
8. Df: Точка x0 называется точкой (локального) максимума функции y = f(x) (см. рис. из примера 1),
9. §2. Максимум и минимум функции … (продолжение)
10. З а м е ч а н и я: 1. Геометрически равенство f′(x0) = 0 означает,
11. Т е о р е м а 4 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y =
12. Отсюда следует, что значение f(x = x0) в точке x0 является наибольшим на интервале (x0 −
13. §2. Максимум и минимум функции … (продолжение) x 0 8 f′(x) max + min + −
14. Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума функции y = f(x), основанный на анализе
15. §2. Максимум и минимум функции … (продолжение)
16. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Как известно (теорема Вейерштрасса), такая функция
17. Правила исследования функции y = f(x), заданной на отрезке [a; b] на наибольшее и наименьшее значения:
18. П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x4
19. §2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение) x y 2R
20. §2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)
21. Df: График функции y = f(x) называется выпуклым вниз (выпуклым книзу) на интервале (a; b), если
22. Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы. Т е о р е м
23. Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема. Т е о р е м а
24. П р и м е р 7. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции y
25. §4. Асимптоты графика функции
26. §4. Асимптоты графика функции (продолжение)
27. Df: Если уравнение асимптоты имеет вид y = kx + b, где k – конечное число,
28. §4. Асимптоты графика функции (продолжение)
29. §4. Асимптоты графика функции (продолжение)
30. §4. Асимптоты графика функции (продолжение)
31. Исследование функции y = f(x) целесообразно вести в определенной последовательности (см. далее). З а м е
32. Правила (схема) исследования функции y = f(x) и построения ее графика: 1) Найти область определения функции.
33. §5. Общая схема исследования функции … (продолжение)
34. §5. Общая схема исследования функции … (продолжение)
35. §5. Общая схема исследования функции … (продолжение)
36. §5. Общая схема исследования функции … (продолжение)
38. Скачать презентацию

Слайд 2

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.:

Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

Слайд 3

§1. Исследование функций при помощи производных. Возрастание и убывание функции
§2. Максимум

и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
§4. Асимптоты графика функции
§5. Общая схема исследования функции и построения графика

Содержание лекции

Слайд 4

§1. Исследование функций при помощи производных. Возрастание и убывание функции

Слайд 5

§1. … Возрастание и убывание функции (продолжение)

Слайд 6

Т е о р е м а 2 (достаточные условия,

⇐). Если функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и f′(x) > 0, то функция f(x) возрастает; если f′(x) < 0, то функция f(x) убывает всюду на интервале (a; b).
Доказательство: Пусть f′(x) > 0. Возьмем точки x1, x2 ∈ (a; b), причем x1 < x2. Применим к отрезку [x1; x2] теорему Лагранжа: f(x2) − f(x1) = f′(c)⋅(x2 − x1), где c ∈ (x1; x2). По условию теоремы f′(c) > 0 и x2 − x1 > 0. Следовательно, разность f(x2) − f(x1) > 0 или f(x2) > f(x1) , т.е. функция y = f(x) возрастает на интервале (a; b). Случай f′(x) < 0 на интервале (a; b) рассматривается аналогично, ч.т.д.
Правило исследования функции y = f(x) на монотонность (монотонное поведение), т.е. на возрастание или убывание.
Для того, чтобы исследовать функцию y = f(x) на монотонность необходимо: 1) вычислить производную этой функции y′ = f′(x) и 2) установить интервалы в которых f′(x) > 0 и (или) f′(x) < 0.

§1. … Возрастание и убывание функции (продолжение)

Слайд 7

П р и м е р 1. Исследовать функцию f(x) =

x3 − 3x − 4 на монотонность, т.e. на возрастание и убывание.
Решение: Функция (рис., а) определена всюду на числовой оси R = (−∞; +∞). Ее первая производная равна f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x + 1)(x − 1). Исследуем знак производной методом интервалов (рис., б).
Ответ: Функция возрастает при x ∈ (−∞; −1)∪(1; +∞), здесь f′(x) > 0; и убывает при x ∈ (−1; 1), здесь f′(x) < 0.

§1. … Возрастание и убывание функции (продолжение)

Слайд 8

Df: Точка x0 называется точкой (локального) максимума функции y = f(x)

(см. рис. из примера 1), если существует такая δ - окрестность точки x0, то есть интервал (x0 − δ; x0 + δ), что при всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Df: Точка x0 называется точкой (локального) минимума функции y = f(x) (см. рис), если существует такая δ - окрестность точки x0, что ∀x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Df: Значение функции f(x0) в точке x0 максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции y = f(x). Максимумы и минимумы функции обобщенно называются экстремумами функции.

§2. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Слайд 9

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

Слайд 10

З а м е ч а н и я: 1. Геометрически

равенство f′(x0) = 0 означает, что в точке x0 экстремума дифференцируемой функции y = f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ox (см. рис. к примеру 1).
2. Утверждение, обратное к утверждению теоремы Ферма, в общем случае неверно: из того, что f′(x0) = 0 не следует, что в точке x0 функция y = f(x) достигает своего экстремума (экстремальна). Например, для функции y = x3 производная функции равна y′ = 3x2 = 0 в точке x0 = 0, однако, эта точка не является точкой экстремума (СРС).
3. Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция y = |x| в точке x0 = 0 производной не имеет, но точка x0 – точка минимума (СРС).

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

Слайд 11

Т е о р е м а 4 (достаточное условие

экстремума). Если непрерывная функция y = f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности точки x0 и при переходе через нее в положительном направлении, т.е. слева направо, ее производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то x0 есть точка максимума; если же производная f′(x) меняет знак с «−» на «+», то x0 есть точка минимума.
Мнемоническая схема:
Доказательство: Рассмотрим δ-окрестность точки x0. Пусть выполняются условия f′(x) > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0) и f′(x) < 0 ∀x ∈ (x0, x0 + δ). Тогда функция f(x) возрастает на интервале (x0 − δ, x0) и убывает на интервале (x0, x0 + δ).

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

max

f′(x) > 0

f′(x) < 0

min

f′(x) < 0

f′(x) > 0

Слайд 12

Отсюда следует, что значение f(x = x0) в точке x0 является

наибольшим на интервале (x0 − δ, x0 + δ), т.е. f(x) < f(x0) для всех x ∈ (x0 − δ, x0)∪(x0, x0 + δ). Это и означает, что точка x0 − точка максимума функции y = f(x). Случай, когда производная функции f′(x) меняет в точке x0 знак с «−» на «+», рассматривается аналогично, ч.т.д.
Правила исследования функции на экстремум:
1) Найти критические точки функции y = f(x).
2) Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции D.
3) Исследовать знак производной f′(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек.
4) В соответствии с теоремой о достаточном условии экстремума выписать точки экстремума, если они есть, и вычислить значения функции в каждой из них.

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

Слайд 13

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)
x
0
8
f′(x)
max
+
min
+
−

Слайд 14

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума функции y

= f(x), основанный на анализе знака второй производной f″(x).
Т е о р е м а 5. Если в точке x0 первая производная дважды дифференцируемой функции y = f(x) равна нулю (f′(x0) = 0), а 2-ая производная отлична от нуля (f″(x0) ≠ 0), то при f″(x0) < 0 в точке x0 функция имеет максимум, а при f″(x0) > 0 – минимум.
Мнемоническая схема:

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

max

min

f″(x0) < 0

f″(x0) > 0

Слайд 15

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

Слайд 16

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Как

известно (теорема Вейерштрасса), такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x0 отрезка [a; b], либо на границе отрезка, т.е. в точках a или b. Если x0 ∈ (a; b), то точку x0 следует искать среди критических точек данной функции.

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

Слайд 17

Правила исследования функции y = f(x), заданной на отрезке [a; b]

на наибольшее и наименьшее значения:
1) Найти критические точки функции y = f(x) на интервале (a; b).
2) Вычислить значения функции в найденных критических точках.
3) Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x = a и x = b.
4) Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
З а м е ч а н и е. Если функция не имеет критических точек на промежутке (a; b), то такая функция монотонно возрастает или убывает, достигая своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка [a; b].

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

Слайд 18

П р и м е р 3. Найти наибольшее и

наименьшее значения функции f(x) = 3x4 + 4x3 + 1 на отрезке [−2; 1].
Решение: Приравняв нулю производную функции y = f(x), найдем критические точки данной функции:
y′ = (3x4 + 4x3 + 1)′ = 12x3 + 12x2 = 12x2⋅(x + 1) = 0.
Вычислим значения функции на границах отрезка [−2; 1], а также в критических точках x1 = −1 и x2 = 0 (см. табл.):
Ответ: Наименьшее значение функции fнаим = f(−1) = 0; наибольшее значение функции fнаиб = f(−2) = 17.

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

Слайд 19

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)
x
y
2R

Слайд 20

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

Слайд 21

Df: График функции y = f(x) называется выпуклым вниз (выпуклым

книзу) на интервале (a; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале (см. рис.). Наоборот, график функции y = f(x) называется выпуклым вверх (выпуклым кверху) на интервале (a; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Df: Точка графика непрерывной функции y = f(x), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба (графика) функции.

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Слайд 22

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.
Т е

о р е м а 6. Если дважды дифференцируемая функция y = f(x) во всех точках интервала (a; b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f″(x0) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f″(x0) > 0 ∀x ∈ (a; b) – график выпуклый вниз.
Доказательство: СРС.

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Слайд 23

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.
Т е о

р е м а 7 (достаточное условие существования точек перегиба). Если у дважды дифференцируемой функции y = f(x) 2-ая производная f″(x0) при переходе через точку x0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой x0 есть точка перегиба.
Доказательство: Пусть f″(x) < 0 при x < x0 и f″(x) > 0 при x > x0. Это значит, что слева от точки x = x0 график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз. Следовательно, точка (x0; f(x0)) графика является точкой перегиба, ч.т.д.
Аналогично доказывается, что если f″(x) > 0 при x < x0 и f″(x) < 0 при x > x0, то точка (x0; f(x0)) − точка перегиба.

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба (продолжение)

Слайд 24

П р и м е р 7. Исследовать на выпуклость и

точки перегиба график функции y = x3 − 3x + 6.
Решение: Найдем первую и вторую производные функции и приравняем последнюю нулю:
y′ = (x3 − 3x + 6)′ = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1).
y″ = 6x = 0 при x0 = 0.
Ясно, что y″ < 0 при x < 0, здесь график функции y(x) выпуклый вверх, и y″ > 0 при x > 0, здесь график функции y(x) выпуклый вниз. Точка x0 = 0 – точка перегиба.
Ответ: Точка x0 = 0 – точка перегиба (см. график на первом слайде §3).

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба (продолжение)

Слайд 25

§4. Асимптоты графика функции

Слайд 26

§4. Асимптоты графика функции (продолжение)

Слайд 27

Df: Если уравнение асимптоты имеет вид y = kx +

b, где k – конечное число, то говорят, что эта прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) (см. рис.); в частности, если k = 0, то говорят о горизонтальной асимптоте к графику функции y = f(x).
Итак, будем искать уравнение наклонной асимптоты к графику функции y = f(x) в виде y = kx + b. Найдем k и b.

§4. Асимптоты графика функции (продолжение)

Слайд 28

§4. Асимптоты графика функции (продолжение)

Слайд 29

§4. Асимптоты графика функции (продолжение)

Слайд 30

§4. Асимптоты графика функции (продолжение)

Слайд 31

Исследование функции y = f(x) целесообразно вести в определенной последовательности (см.

далее).
З а м е ч а н и я:
1. Приведенная схема исследования является общей и, в зависимости от конкретного вида исследуемой функции, в простых случаях некоторые пункты могут быть опущены.
2. Если построение графика функции остается затруднительным даже проведения полного исследования функции, следует вычислить и построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности поведения функции.
3. Иногда целесообразно исследование функции сопровождать постепенным построением эскиза графика функции y = f(x).

§5. Общая схема исследования функции и построения графика

Слайд 32

Правила (схема) исследования функции y = f(x) и построения ее графика:
1)

Найти область определения функции.
2) Найти точки пересечения графика с осями координат.
3) Найти интервалы знакопостоянства функции, т.е. интервалы, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0.
4) Установить четность и (или) периодичность функции.
5) Найти асимптоты графика функции.
6) Найти интервалы монотонности функции.
7) Найти экстремумы функции.
8) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
9) На основании проведенного исследования построить график функции y = f(x).

§5. Общая схема исследования функции … (продолжение)

Слайд 33