Кинематика

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Кинематика

Содержание

2. О – начало координат (начало отсчёта); K – название системы отсчёта Положение МТ в пространстве в
3. ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ МТ (m) – радиус-вектор в момент , – в момент , –
4. PS. Векторы скорости и – касательные к траектории. Очевидно: При малых очевидно, что . Средняя скорость
5. Мгновенная путевая скорость (при ): Среднее ускорение за промежуток времени (t1, t2): Мгновенное ускорение (в момент
6. Обратно: , выполняется с помощью интегрирования. Чтобы найти по заданной , необходимо знать начальное значение Аналогично:
7. Векторные равенства можно записать в проекциях на оси координат: , , (1.20а,б) , , (1.21а,б) ,
8. 1.2. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ: ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ. Очевидно,
9. Первое слагаемое – касательное или тангенциальное ускорение: при при Второе слагаемое - называется нормальной составляющей она
10. Можно считать: Рассматривая этот треугольник как бесконечно малый сектор, имеем Но . Отсюда
11. Если ввести бесконечно малый вектор поворота , направление которого указано на рисунке 1.4 – «к нам»,
12. Если считать малый отрезок криволинейной траектории частью окружности, то величина (1.37) называется вектором угловой скорости. Вектор
13. 1.3 НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ.
14. Дифференцируя, находим ускорение: Второе слагаемое есть нормальное ускорение: Тогда первое, очевидно, равно : Введём новое определение:
15. Теперь ускорение: Двойное векторное произведение вычислим по известной математической формуле , что даёт Учитывая, что ,
16. Рассмотрим аналогию между ускоренными прямолинейным и криволинейным движениями (на примере МТ, движущейся по окружности) Ось OZ
17. Для движения по окружности: Равнопеременное движение вдоль оси описывается равенствами: Равнопеременное движение по окружности: где –
19. Скачать презентацию

Слайд 2

О – начало координат (начало отсчёта); K – название системы отсчёта
Положение

МТ в пространстве в определённый момент времени задаётся тремя её координатами (например, декартовыми) или радиус-вектором :
, , . (1.1)
При движении МТ её координаты становятся функциями времени:
, , . (1.2 а, б, в)
Аналогично,
. (1.3)
Закон движения МТ – правило, по которому можно определить её положение в любой момент времени.
P.S. Закон движения (1.2 а, б, в) можно рассматривать как уравнения траектории, заданной в параметрическом виде (в роли параметра t).

Слайд 3

ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ МТ (m)
– радиус-вектор в момент , –

в момент , – перемещение за промежуток времени ,
– путь за (длина отрезка траектории),
– мгновенная скорость в момент времени ,
– мгновенная скорость в момент t2.

Слайд 4

PS. Векторы скорости и – касательные к траектории.
Очевидно:
При малых очевидно, что

.
Средняя скорость
Мгновенная скорость
PS. Другой вид математической записи («точка» обозначает производную по времени)
.
Средняя путевая скорость
– путь, пройденный за . При получаем:

Слайд 5

Мгновенная путевая скорость (при ):
Среднее ускорение за промежуток времени (t1, t2):
Мгновенное

ускорение (в момент t):
Очевидно:
PS.1. Если закон движения задан, например, известна зависимость , то мы имеем о движении полную информацию, и все величины, определённые равенствами (1.6) – (1.14) легко вычисляются, точно так же, как и их проекции на декартовы оси.
PS.2 Переход и выполняется с помощью дифференцирования.

Слайд 6

Обратно: , выполняется с помощью интегрирования.
Чтобы найти по заданной ,

необходимо знать начальное значение
Аналогично:
Пример 1.
Пусть МТ движется с . Тогда можно найти
Интегрируя ещё раз, получаем закон движения:
Это равенства, связывающие кинематические величины в общем случае,
т.е. при произвольном движении МТ.
Пример 2. (из школьной жизни!). Прямолинейное равноускоренное движение.
Очевидно, что

Слайд 7

Векторные равенства можно записать в проекциях на оси координат:
, , (1.20а,б)
, , (1.21а,б)
, (1.22)
(1.23)
и

т.д.

Слайд 8

1.2. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ.
УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ:

ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ.
Очевидно, при криволинейном движении ускорение материальной точки отлично от нуля, т.к. вектор скорости изменяется по величине и по направлению.
Представим вектор скорости МТ в виде где
т.е. – единичный вектор, направленный по скорости
Продифференцируем уравнение :
Обозначим:

Слайд 9

Первое слагаемое – касательное или тангенциальное ускорение:
при
при
Второе слагаемое

- называется нормальной составляющей
она нормальна, т.е. перпендикулярна, к вектору скорости (см. ниже!).

Слайд 10

Можно считать:
Рассматривая этот треугольник как бесконечно малый сектор, имеем
Но . Отсюда

Слайд 11

Если ввести бесконечно малый вектор поворота , направление которого указано на

рисунке 1.4 – «к нам», – то будем иметь с учётом (1.31) и (1.33):
(1.34)
Таким образом, (см. (1.31), (1.28)),
(1.35)
Следовательно, равенство (1.29) – разложение вектора ускорения на две взаимно перпендикулярные составляющие.
Далее, можно представить в виде
(1.36)
Направления , , в случае показаны на рисунке 1.5.

Слайд 12

Если считать малый отрезок криволинейной траектории частью окружности, то величина

(1.37)
называется вектором угловой скорости.
Вектор определяет как направление поворота, так и величину угла поворота радиуса-вектора за единицу времени.
Направление движения МТ по окружности и направление связаны правилом буравчика.

Слайд 13

1.3 НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ. СВЯЗЬ

МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ. РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ТРАЕКТОРИИ.

PS. .
При движении против часовой стрелки направлена «к нам»
по часовой – «от нас»
За время dt радиус-вектор изменится на :
Используя аналогию треугольников:

Слайд 14

Дифференцируя, находим ускорение:
Второе слагаемое есть нормальное ускорение:
Тогда первое, очевидно, равно :
Введём

новое определение: угловым ускорением МТ назовём величину

Поделив обе части на , будем иметь

Слайд 15

Теперь ускорение:
Двойное векторное произведение вычислим по известной математической формуле
,
что даёт
Учитывая,

что , получаем:
Таким образом, в разложении:
слагаемые имеют вид:
Нормальная составляющая ускорения – это хорошо известное из школьного курса центростремительное ускорение.
Ускорение материальной точки , движущейся по окружности, называют также полным ускорением.

Слайд 16

Рассмотрим аналогию между ускоренными прямолинейным и криволинейным движениями (на примере МТ,

движущейся по окружности)
Ось OZ направлена «к нам», – единичный вектор, указывающий направление отсчёта положительных углов, которое связано с направлением OZ правилом буравчика
Для движения вдоль оси OX имеем

Слайд 17

Для движения по окружности:
Равнопеременное движение вдоль оси описывается равенствами:
Равнопеременное движение

по окружности:
где – угловое перемещение материальной точки

Кинематика

Содержание

О – начало координат (начало отсчёта); K – название системы отсчётаПоложение

ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ МТ (m)– радиус-вектор в момент , –

PS. Векторы скорости и – касательные к траектории.Очевидно:При малых очевидно, что

Мгновенная путевая скорость (при ):Среднее ускорение за промежуток времени (t1, t2):Мгновенное

Обратно: , выполняется с помощью интегрирования. Чтобы найти по заданной ,

Векторные равенства можно записать в проекциях на оси координат: , , (1.20а,б), , (1.21а,б), (1.22)(1.23)и

1.2. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ:

Первое слагаемое – касательное или тангенциальное ускорение: при при Второе слагаемое

Можно считать:Рассматривая этот треугольник как бесконечно малый сектор, имеемНо . Отсюда