Кинематика точки

способе задания её движения

3. Скорость точки при координатном способе задания её движения

4. Скорость точки при естественном способе задания её движения

Содержание

5. Ускорение точки при векторном способе задания её движения

6. Ускорение точки при координатном способе задания её движения

Введение

7. Ускорение точки при естественном способе задания её движения

движения тел. Движущиеся тела рассматриваются как чисто геометрические объекты – точки и тела – без учета их материальных характеристик (массы и др.). При этом не рассматриваются причины (действующие на тела силы), вызывающие и изменяющие движение объекта.

Движение

Под движением в механике понимается изменение с течением времени положения в пространстве данного тела по отношению к какому-либо другому телу.

которым связан наблюдатель. С твердым телом, по отношению к которому изучается движение, жестко соединяют какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета

Пространство и время

Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово. Время считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета. В задачах кинематики время (скалярная, непрерывно изменяющаяся величина) принимается за независимое переменное (аргумент). Отсчет времени ведется от некоторого условного начального момента, о выборе которого в каждом случае условливаются.

как-то задано (описано). Задать движение тела (точки) – значит, задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Если положение тела (точки) определяется какими-нибудь координатами (параметрами), то надо задать зависимость координат от времени t. Такая зависимость называется кинематическими уравнениями движения или законом движения.

Задачи кинематики

Основной задачей кинематики является установление математических способов задания движения тел (точек) и методов определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

векторный, координатный, естественный.

Векторный способ задания движения точки. Положение точки М, движущейся по отношению к системе отсчета Oxyz, определяется радиус-вектором, проведенным из начала координат О в точку М (рис. 1).

1. Способы задания движения точки

линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией точки является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным.

При векторном способе задания движения траектория точки представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф этого вектора), рис. 2.

её декартовы координаты х, у, z, изменяются непрерывно во времени.

Тогда положение точки в любой момент времени определяется зависимостями

На 10

координатах и одновремен-но являются и уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t.

Исключив из уравнений движения точки (2) время t, найдём уравнение траектории точки в виде зависимости между координатами точки. Для точки, движущейся в пространстве получим

Для точки, совершающей движение в плоскости уравнение траектории имеет вид

которая заключается в следующем. Зная координаты точки М как функции времени, можно найти радиус вектор точки как функцию времени:

Естественный способ задания движения точки. Этот способ задания движения может быть применен, если заранее известна траектория движущейся точки. На траектории выбирают неподвижную точку О, которую принимают за начало отсчета криволинейной (дуговой) координаты s, и устанавливают её положительное и отрицательное направления отсчета, рис. 4.

быстроту и направление движения точки называется скоростью точки.

равно вектору, который называется средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени

равный первой производной по времени от радиус-вектора точки и направленный по касательной к траектории точки:

точки равен:

точки по координатным осям.

Сравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых ортах, получим:

Из (13) следует: проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Модуль скорости точки равен:

способе задания движения радиус-вектор точки является сложной функцией:

характеризующая изменение скорости точки называется ускорением.
Рассмотрим движение точки по траектории, рис. 10.

Допустим, что в момент времени t1 точка занимает положение M1 и имеет скорость V1. В момент времени t2 точка занимает положение М2 и имеет скорость V2.

от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

В соответствии с формулой (23)

6. Ускорение точки при координатном способе задания
её движения

Учитывая, что

по координатным осям:

Сравнивая в формулах (26) (27) величины, стоящие при одинаковых единичных векторах, приходим к выводу: проекции ускорения точки на координатные оси x, y, z равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат.

ускорения на координатные оси:

Направление вектора ускорения определяется направляю-щими косинусами.

Из формул (30) определяются значения углов, которые составляет вектор ускорения с координатными осями x, y, z.

естественном способе задания движения вектор скорости точки равен:

Здесь проекция скорости точки на касательную равна первой производной от криволинейной координаты s этой точки по времени:

Продифференцируем по времени равенство (32) и найдём ускорение точки.

Как видим, ускорение точки равно сумме двух векторов. :

Первый вектор направлен по касательной. Его проекция на касательную равна:

Модуль вектора ускорения равен

Угол μ отклонения вектора ускорения от нормали Mn определяется по формуле

а его значения могут быть в интервале