Конечные кластеры и трансляционная инвариантность Периодические граничные условия

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Конечные кластеры и трансляционная инвариантность Периодические граничные условия

Содержание

2. Периодические граничные условия В большинстве случаев рассматриваемые конечные системы, кластеры, выбираются с периодическими граничными условиями для
3. Решетка Бравэ Понизить размерность фоковского базиса системы можно, если учесть симметрию кластера Вектор трансляции на пространственной
4. Задача Шредингера Задача Шредингера на периодической решетке: Оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом: Существует общая система собственных
5. Задача Шредингера Векторы b называются базисными векторами обратной решетки и обычно выбираются в виде: Для простой
6. Задача Шредингера Собственную волновую функцию гамильтониана в условиях периодического потенциала можно представить как произведение экспоненциального множителя
7. Пример. Одномерная цепочка Одномерная цепочка из четырех узлов с тремя частицами, описываемая моделью Бозе – Хаббарда.
8. Базис оператора трансляций Собственные функции оператора трансляций могут быть записаны в виде комбинаций периодической функции и
9. Базис оператора трансляций Матричные элементы внутри блока, отвечающего сектору m: С учетом трансляционной симметрии гамильтониана и
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Периодические граничные условия
В большинстве случаев рассматриваемые конечные системы, кластеры, выбираются с

периодическими граничными условиями для того, чтобы все узлы системы были эквивалентными
Для конкретных случаев может быть выбрана и другая, необязательно периодическая, геометрия кластера (периодическая геометрия кластера называется также геометрией тора). Используют также антипериодические граничные условия, свободные, или нулевые, граничные условия и другие варианты геометрии кластеров

Слайд 3

Решетка Бравэ
Понизить размерность фоковского базиса системы можно, если учесть симметрию кластера
Вектор

трансляции на пространственной периодической структуре:
Периодическая структура с определенным на ней вектором трансляции называется решеткой Бравэ
Векторы трансляции полностью определяют пространственную решетку Бравэ
Оператор трансляции:
Свойство оператора трансляции:

Слайд 4

Задача Шредингера
Задача Шредингера на периодической решетке:
Оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом:
Существует общая

система собственных функций для гамильтониана и оператора трансляций:
В общем случае для каждого базисного вектора решетки:
Для вектора трансляции имеем:
Вектор k определен с точностью до вектора g:
Множество таких векторов можно представить в виде разложения

Слайд 5

Задача Шредингера
Векторы b называются базисными векторами обратной решетки и обычно выбираются

в виде:
Для простой кубической решетки:
Базисные вектора обратной решетки ортогональны базисным векторам прямой решетки:
Оператор трансляций может быть записан в виде:
Оператор трансляции унитарен:

Слайд 6

Задача Шредингера
Собственную волновую функцию гамильтониана в условиях периодического потенциала можно представить

как произведение экспоненциального множителя на периодическую функцию (теорема Блоха):
Граничные условия Борна – Кармана:
Разрешенные значения блоховского волнового вектора k действительны:
Для простой кубической решетки:
Решение задачи Шредингера, которое удовлетворяет трансляционной инвариантности, следует искать в виде блоховской волновой функции, при этом вектор k является одним из разрешенных векторов обратной решетки

Слайд 7

Пример. Одномерная цепочка
Одномерная цепочка из четырех узлов с тремя частицами, описываемая

моделью Бозе – Хаббарда. Узельный базис состоит из 20 функций:
Сортировка базисных функций на классы; в каждом классе узельные функции порождаются производящей функцией:
Имеем пять классов по четыре функции:

Слайд 8

Базис оператора трансляций
Собственные функции оператора трансляций могут быть записаны в виде

комбинаций периодической функции и экспоненциального множителя:
Коэффициенты определяются из условия ортонормированности:
Новый базис представляет собой блочную структуру, пронумерованную по разрешенным векторам обратной решетки (или секторам импульса). Гамильтонова матрица в новом базисе будет блочно-диагональной:

Слайд 9

Базис оператора трансляций
Матричные элементы внутри блока, отвечающего сектору m:
С учетом трансляционной

симметрии гамильтониана и узельных функций:
Матричные элементы от диагональной части гамильтониана:
Все матричные элементы недиагональной части гамильтониана внутри блока в общем случае являются ненулевыми, в том числе и элементы на главной диагонали:

Конечные кластеры и трансляционная инвариантность Периодические граничные условия

Содержание

Периодические граничные условияВ большинстве случаев рассматриваемые конечные системы, кластеры, выбираются с

Решетка БравэПонизить размерность фоковского базиса системы можно, если учесть симметрию кластераВектор

Задача ШредингераЗадача Шредингера на периодической решетке:Оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом:Существует общая

Задача ШредингераВекторы b называются базисными векторами обратной решетки и обычно выбираются

Задача ШредингераСобственную волновую функцию гамильтониана в условиях периодического потенциала можно представить

Пример. Одномерная цепочкаОдномерная цепочка из четырех узлов с тремя частицами, описываемая

Базис оператора трансляцийСобственные функции оператора трансляций могут быть записаны в виде

Базис оператора трансляцийМатричные элементы внутри блока, отвечающего сектору m:С учетом трансляционной

Похожие презентации