кривые 2 порядка

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
кривые 2 порядка

Содержание

2. Кривые второго порядка Ax2 + 2Bxy + Cy2 - главная часть уравнения (кв.ф.) 2Dx + 2Ey
3. Эллипс Декартово уравнение: x2/a2 + y2/b2 = 1 Параметрическое уравнение: x = a cos(t), y =
4. Окружность Декартово уравнение: x2 + y2 = a2 Параметрическое уравнение: x = a cos(t), y =
5. Парабола Декартово уравнение: y = ax2 + bx + c
7. Гипербола Декартово уравнение: x2/a2 - y2/b2 = 1 Параметрическое уравнение: x = a sec(t) = a/cos(t),
10. Параллельный перенос системы координат
11. Преобразование уравнения кривой при параллельном переносе Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2 Ey +
12. Преобразование уравнения кривой при параллельном переносе Подберем a и b в так, чтобы коэффициенты при переменных
13. 1 случай. Преобразование уравнения кривой при параллельном переносе при . Преобразованное уравнение: Таким образом, в новой
14. По часовой стрелке
15. Против часовой стрелки
16. Поворот системы координат
17. Поворот системы координат
18. где есть матрица поворота (ортогональная матрица) Поворот системы координат
19. 1 случай. Преобразование уравнения кривой при повороте при . Преобразованное уравнение: Главная часть уравнения – квадратичная
20. Как найти θ Пример.
21. Классификация центральных кривых ( ). Преобразованное уравнение: Уравнения для нахождения коэффициентов при квадратах:
22. Классификация центральных кривых ( ). Вырожденные центральные кривые Невырожденные центральные кривые
23. Преобразование общего уравнения к каноническому виду (пример)
24. Преобразование общего уравнения к каноническому виду (пример) -1 1 y’ x’ Перенесем начало координат в точку
25. 2 случай. Преобразование уравнения кривой в случае . Сразу производим поворот Так как , остается только
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Кривые второго порядка
Ax2 + 2Bxy + Cy2 - главная часть уравнения

(кв.ф.)

2Dx + 2Ey + F - линейная часть уравнения

Слайд 3

Эллипс
Декартово уравнение: x2/a2 + y2/b2 = 1
Параметрическое уравнение: x =

a cos(t), y = b sin(t)

Слайд 4

Окружность
Декартово уравнение: x2 + y2 = a2
Параметрическое уравнение: x

= a cos(t), y = a sin(t)

Слайд 5

Парабола
Декартово уравнение: y = ax2 + bx + c

Слайд 6

Слайд 7

Гипербола
Декартово уравнение: x2/a2 - y2/b2 = 1
Параметрическое уравнение: x

= a sec(t) = a/cos(t), y = b tan(t)

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Параллельный перенос системы координат

Слайд 11

Преобразование уравнения кривой при параллельном переносе
Ax2 + 2Bxy + Cy2 +

2Dx +2 Ey + F = 0

Подставляем

Главная часть не меняется, можно упростить только
линейную часть

Слайд 12

Преобразование уравнения кривой при параллельном переносе
Подберем a и b в
так,

чтобы коэффициенты при переменных в линейной части
стали равными 0:

Для нахождения a и b получили систему уравнений,
которая имеет единственное решение при условии

Слайд 13

1 случай. Преобразование уравнения кривой при параллельном переносе при .
Преобразованное уравнение:
Таким

образом, в новой системе координат уравнение принимает вид

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + F= 0

Для дальнейшего упрощения повернем систему координат.

Слайд 14

По часовой стрелке

Слайд 15

Против часовой стрелки

Слайд 16

Поворот системы координат

Слайд 17

Поворот системы координат

Слайд 18

где
есть матрица поворота
(ортогональная матрица)
Поворот системы координат

Слайд 19

1 случай. Преобразование уравнения кривой при повороте при .
Преобразованное уравнение:
Главная часть

уравнения – квадратичная форма,
а преобразование – ортогональное – приведение к главным осям.
Тогда после подстановки в уравнение получаем

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + F= 0

Слайд 20

Как найти θ
Пример.

Слайд 21

Классификация центральных кривых ( ).
Преобразованное уравнение:
Уравнения для нахождения коэффициентов при

квадратах:

Слайд 22

Классификация центральных кривых ( ).
Вырожденные центральные кривые
Невырожденные центральные кривые

Слайд 23

Преобразование общего уравнения к каноническому виду (пример)

Слайд 24

Преобразование общего уравнения к каноническому виду (пример)
-1
1
y’
x’
Перенесем начало координат в точку

(1; -1), получим новую систему координат:

Слайд 25

2 случай. Преобразование уравнения кривой в случае .
Сразу производим поворот
Так как

, остается только один квадрат, например, для y:

Для дальнейшего упрощения (предполагаем D,F ненулевые)