Квантовая статистика электронов в металле

и немецким физиком А.Зоммерфельдом)

Классическая теория исходит из представлений о существовании в металлах свободных электронов. К ним примененяются законы классической статистики (статистики Максвелла—Больцмана), согласно которой распределение электронов по энергетическим состояниям описывается экспоненциальной функцией вида:

При этом в каждом энергетическом состоянии может находиться любое число электронов

В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

где Э — энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется; ЭF — энергия характеристического уровня, относительно которого кривая вероятности симметрична.

1, если Э ≤ ЭF, и
F(Э) = 0, если Э > ЭF.

Квантовая статистика электронов в металле

энергии, которую может иметь электрон в металле при температуре абсолютного нуля. Эту характеристическую энергию называют энергией Ферми или уровнем Ферми.

Распределение электронов в частично заполненной зоне (а) и функция вероятности заполнения электронами уровней (б):
I — уровни, почти заполненные; II — ингервал размывания; III — уровни, почти полностью свободные

Квантовая статистика электронов в металле

Э = ЭF вероятность заполнения электронами равна 0,5.
Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми,
с вероятностью больше 0,5 заполнены электронами.
Наоборот, все уровни, лежащие выше уровня Ферми,
с вероятностью более 0,5 свободны от электронов

Квантовая статистика электронов в металле

и плотностью квантовых состояний в зоне:

где dn — число электронов, приходящихся на энергетический интервал от Э до Э + dЭ;
N(Э) — плотность разрешенных состояний в зоне, т. е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объема

Исходя того, что энергетические уровни и радиусы стационарных орбит, которые может иметь электрон в атоме:

Распределение электронов по энергиям в металле можно представить параболической зависимостью

Квантовая статистика электронов в металле