Предельный переход в неравенствах

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Предельный переход в неравенствах

Содержание

2. Предельный переход в неравенствах. ТЕОРЕМА 1. Пусть Тогда а ≥ 0. Доказательство. Предположим противное: а Так
3. СЛЕДСТВИЕ. Если то а ≤ 0. ТЕОРЕМА 2. Пусть Тогда найдется такое натуральное число N ,
4. ТЕОРЕМА 3. (О «двух милиционерах») Пусть числовые последовательности {хn}, {уn},{zn} таковы, что 1) хn ≤ уn
5. Возьмем N(ε) = max{ N0, N1(ε), N2(ε)}. Тогда уn∈Uε(a) для ∀n ≥ N(ε). Т.е. {уn} сходится
6. Определение монотонной числовой последовательности и точной грани числовой последовательности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей),
7. К известным из школы свойствам вещественных чисел добавим еще одно важное Свойство Вейерштрасса . В Всякая
8. Бином Ньютона
9. Число е. Рассмотрим последовательность окажем, что эта последовательность сходится. Для этого достаточно доказать что она: возрастает;
10. (1) (2) Все слагаемые в суммах (1) и (2) положительны, причем каждое слагаемое суммы (1) меньше
11. Кроме того, число слагаемых в сумме (2) на одно больше, чем в сумме (1). Поэтому Теперь
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Предельный переход в неравенствах.
ТЕОРЕМА 1.
Пусть Тогда а ≥ 0.
Доказательство.

Предположим противное: а < 0.
Так как а – предел числовой последовательности, то вне любой окрестности этого числа может содержаться лишь конечное число элементов последовательности. Выберем ε так, чтобы Uε(a)⊂(–∞,0). Но, по условию теоремы, все элементы последовательности лежат на положительной полуоси, т.е. вне Uε(a) находится бесконечно много ее элементов, что противоречит определению предела. Следовательно наше предположение неверно и а ≥ 0.

Слайд 3

СЛЕДСТВИЕ.
Если то а ≤ 0.
ТЕОРЕМА 2.
Пусть
Тогда найдется

такое натуральное число N , что xn > 0 для всех n ≥ N.
Доказательство.
Возьмем ε = а/2. Тогда, согласно определению предела, найдется такое N(ε), что для всех n ≥ N(ε) будет выполнено неравенство
⎜ хn – а ⎜< а/2 ⇔ а/2 < хn < 3а/2,
т.е. xn > 0 для всех n ≥ N.

Слайд 4

ТЕОРЕМА 3. (О «двух милиционерах»)
Пусть числовые последовательности {хn}, {уn},{zn} таковы, что

1) хn ≤ уn ≤ zn ∀n ≥ N0 ;
2)
Тогда {уn} сходится и
Доказательство.
Возьмем ∀ε > 0.

Слайд 5

Возьмем N(ε) = max{ N0, N1(ε), N2(ε)}.
Тогда уn∈Uε(a) для ∀n

≥ N(ε).
Т.е. {уn} сходится и
ТЕОРЕМА 4.
Если и хn ≥ уn ∀n, то а ≥ b.
Доказательство.
По теореме о пределе разности
хn – уn → а – b и хn – уn ≥ 0,
тогда по теореме о сохранении пределом знака членов последовательности
a – b ≥ 0, т.е. a ≥ b.

Слайд 6

Определение монотонной числовой последовательности и точной грани числовой последовательности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Числовая последовательность

{xn} называется возрастающей (убывающей), если хn+1≥ хn (хn+1≤ хn) ∀n и строго возрастающей (убывающей), если хn+1> хn (хn+1< хn) ∀n. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называются монотонными.
ПРИМЕР.
{1/n}– убывающая, {n}– возрастающая, {sinn} – не является монотонной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Число а называется точной верхней (нижней) гранью числовой последовательности {xn}, если
xn ≤ а (xn ≥ а) ∀n ;
∀ε > 0 ∃N(ε): xN > a – ε (xN < a + ε).

Слайд 7