Математические основы дисциплины

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Математические основы дисциплины

Содержание

2. Множество Х Алгебраические структуры Пространство G-группа, G=G(*) R- кольцо,R=G (t, x) F- поле,F=R (e=0) Простое поле
3. Группа Определение 1: Множество G называется группой относительно бинарной операции (*), если выполняются следующие свойства: 1)Замкнутость:
4. Примечание: Если элементы группы обладают коммутативным свойством: α,β G; α*β = β*α, то такая группа называется
5. 2. Множество мнимых чисел X=J * - сложение 1),2),3) е=0,4) -выполняются, Значит X=J является группой. 3.
6. Подгруппа Определение 2: Подмножество G0 группы G обладающее свойствами группы называется подгруппой Пример: G0 = {000,001,010,011}
7. Кольцо Определение 3:Множество R являющееся группой относительно бинарной операции сложения называется кольцом, если относительно операции умножения
8. Примеры: Множество вещественных чисел R. Множество многочленов A(x) c коэффициентами из R.
9. Поле F Определение 4: Кольцо F называется полем, если относительно бинарной операции умножения этого кольца, выполняются
10. Простое поле Галуа Определение 5: Множество целых чисел GF(p):{0,1,2,…,р-1} образует простое поле Галуа относительно бинарной операции
11. a b = c = a · b = d = Пример: р=7- модуль GF(p) ={0,1,2,3,4,5,6}
12. Модулярный многочлен(ММ) Определение 6: Многочлен называется модулярным, если коэф-ты этого многочлена принадлежат простому полю Галуа, причем
13. Неприводимый ММ Определение 7: Многочлен М(х) степени n, с коэф-ми из простого поля Галуа называется неприводимым
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Множество Х
Алгебраические структуры
Пространство
G-группа, G=G(*)
R- кольцо,R=G (t, x)
F- поле,F=R (e=0)
Простое поле Галуа

GF(p)

Расширенное поле Галуа

Метрическое пространство

Линейное пространство X – множество векторов

Нормированное линейное пространств׀׀x׀׀

Линейное пространство со скалярным произведением (x,y)

Слайд 3

Группа
Определение 1: Множество G называется группой относительно бинарной операции (*),

если выполняются следующие свойства:
1)Замкнутость: α,β G; = α*β : G
2)Ассоциативность: α,β, G;α*(β* )=(α*β)*
3)Наличие нейтрального элемента:
е G: α G; α*е = е*α= α
4)Наличие обратного элемента:
α G G: α * = *α = е

Слайд 4

Примечание: Если элементы группы обладают коммутативным свойством:
α,β G; α*β =

β*α, то такая группа называется группой Абеля или коммутативной.
Примеры:
Множество целых чисел X=Y
* - умножение
1),2),3) е=1-выполняются,4)-нет
Значит X=Y не является группой.

Слайд 5

2. Множество мнимых чисел X=J
* - сложение
1),2),3) е=0,4) -выполняются,
Значит X=J

является группой.
3. Множество кодовых комбинаций на все сочетания x={000,001,010,011,101,110,111}
- суммирование кодовых комбинаций по модулю 2 (mod 2), без переноса в старший разряд.
1),2),3) е=000,4) – выполняются
Значит Х является группой.

Слайд 6

Подгруппа
Определение 2: Подмножество G0 группы G обладающее свойствами группы называется подгруппой
Пример:
G0

= {000,001,010,011}
1),2),3) е=000,4) – выполняются, значит G0 - подгруппа

Слайд 7

Кольцо
Определение 3:Множество R являющееся группой относительно бинарной операции сложения называется кольцом,

если относительно операции умножения оно обладает свойствами:
1)Замкнутость: α,β R; = α·β : R
2)Ассоциативность: α,β, R;α ·(β · )=(α ·β)·
3)Дистрибутивность: α,β, R:
α ·(β + ) = α · β +α · ; (α +β)· = α · +β ·

Слайд 8

Примеры:
Множество вещественных чисел R.
Множество многочленов A(x) c коэффициентами из R.

Слайд 9

Поле F
Определение 4: Кольцо F называется полем, если относительно бинарной операции

умножения этого кольца, выполняются свойства:
1) Наличие нейтрального элемента е.
е F: α F; е ·α = α ·е = α.
2) Наличие обратного элемента:
α F F: α · = · α = е
3) α,β F α·β=0 α=0 β=0
Пример: F=R множество вещественных
чисел

Слайд 10

Простое поле Галуа
Определение 5: Множество целых чисел GF(p):{0,1,2,…,р-1} образует простое поле

Галуа относительно бинарной операции сложения по модулю р и умножения по модулю р, если эти операции выполняются следующим образом:
a b = c a + b = c + k ·p, где k-целое число, ca · b = d a · b = d + l ·p, где l-целое число, c

Слайд 11

a b = c =
a · b = d =
Пример: р=7-

модуль GF(p) ={0,1,2,3,4,5,6}
p=7
6 = = =4
5+6 = 11 = 4 + 1 ·7
5 · 6 = = =2
5 · 6 = 30 = 2 + 4 ·7

Слайд 12

Модулярный многочлен(ММ)
Определение 6:
Многочлен
называется модулярным, если коэф-ты этого многочлена

принадлежат простому полю Галуа, причем при сложении ММ и произведении ММ приведение подобных осуществляется по правилу сложения и перемножения по mod p.

Слайд 13

Неприводимый ММ
Определение 7: Многочлен М(х) степени n, с коэф-ми из простого

поля Галуа называется неприводимым ММ, если он делится без остатка и на себя или на единицу,т.е. не имеет корней в простом поле Галуа.

Математические основы дисциплины

Содержание

Множество ХАлгебраические структурыПространствоG-группа, G=G(*)R- кольцо,R=G (t, x)F- поле,F=R (e=0)Простое поле Галуа

Группа Определение 1: Множество G называется группой относительно бинарной операции (*),

Примечание: Если элементы группы обладают коммутативным свойством: α,β G; α*β =

2. Множество мнимых чисел X=J * - сложение1),2),3) е=0,4) -выполняются,Значит X=J

ПодгруппаОпределение 2: Подмножество G0 группы G обладающее свойствами группы называется подгруппойПример: G0

КольцоОпределение 3:Множество R являющееся группой относительно бинарной операции сложения называется кольцом,

Примеры:Множество вещественных чисел R.Множество многочленов A(x) c коэффициентами из R.

Поле FОпределение 4: Кольцо F называется полем, если относительно бинарной операции

Простое поле ГалуаОпределение 5: Множество целых чисел GF(p):{0,1,2,…,р-1} образует простое поле

a b = c =a · b = d =Пример: р=7-

Модулярный многочлен(ММ)Определение 6: Многочлен называется модулярным, если коэф-ты этого многочлена

Неприводимый ММОпределение 7: Многочлен М(х) степени n, с коэф-ми из простого

Похожие презентации