Математический формализм

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Математический формализм

Содержание

2. Вектор состояния 〈 D | S 〉 = 〈 D | 1 〉⋅〈 1 | S
3. Правило 1 амплитуда вероятности любого события (квантового перехода) всегда может быть представлена в виде скалярного произведения
4. | S 〉 = S1 ⋅ | 1 〉 + S2 ⋅ | 2 〉 +
5. θ1 = kx = ωt θ2 = – θ1 = – kx = – ωt Ситуация
6. Правило 3 каждое состояние можно представить двумя экземплярами вектора состояния, которые являются ЭРМИТОВО СОПРЯЖЕННЫМИ относительно друг
7. Анализ векторов состояния Проблема: для вычисления амплитуд необходимы координатные представления векторов состояния | S 〉 =
8. Правило 4 любое базисное состояние является собственным для некоторого спектрального анализатора ( А ), т.е. для
9. Прибор А: | Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉 + а2 ⋅ | А2
10. x y f g i j f g R Rx Ry Rg Rf R = Rx
11. UB←A и UA←B — матричные операторы преобразования координат вектора от одного базиса к другому А и
12. Независимые наблюдаемые Прибор А: | Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉 + а2 ⋅
13. Функциональные представления | Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉 + а2 ⋅ | А2
14. Пример: «частица в ящике» P = | A |2 ψ(x, y, z) ~ sin(αx) ⋅ sin(βy)
15. Квантовомеханические операторы ОПЕРАТОР — процедура (операция), выполняемая над векторами.
16. b = F ⋅ a F : a → b Координатное представление
17. Функциональное представление
18. Явный вид оператора зависит от использованного базиса b = F • a 1-й базис ( b
19. U12 = (U21)–1 = (U21)+ U21 = (U12)–1 = (U12)+ Связь между представлениями оператора F (
20. Спектральные свойства операторов Каждый оператор F имеет: набор СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ (функций) ( f1, f2, ... ,
21. ОПЕРАТОР СПЕКТР оператора
22. Операторы квантовомеханических наблюдаемых Оператор наблюдаемой А
23. Собственные векторы любого оператора КМ-наблюдаемой а) взаимно ортогональны 〈 ϕi | ϕk 〉 = 0 если
24. Квантовые переходы в атоме 〈 2s | 1s 〉 = A1s→2s = 0 (векторы 1s и
25. МЕТОДИКА квантовой механики Задача: найти все возможные значения некоторой наблюдаемой А = (А1, А2, … Аn)
26. Выводы 1. Всякой механической наблюдаемой А можно сопоставить оператор А 2. Оператор А является математической моделью
27. Операторы возмущения Вычисление глобальной амплитуды АS→F→D = ∑∑ [ Dj ⋅ Fji ⋅ Si ] АS→F→D
28. Вектор начального состояния, измененный в результате внешнего воздействия (возмущения)
29. Вывод В квантовой механике используют три разновидности операторов 1. Операторы наблюдаемых Применение а) вычисление допустимых значений
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Вектор состояния
〈 D | S 〉 = 〈 D | 1

〉⋅〈 1 | S 〉 + 〈 D | 2 〉⋅〈 2 | S 〉 + . . . = ∑ 〈 D | i 〉 ⋅ 〈 i | S 〉

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов — 〈 D | и | S 〉

АS→D = А1 + А2 + … = D1 ⋅ S1 + D2 ⋅ S2 + . . . = ∑ ( Di ⋅ Si )

Слайд 3

Правило 1
амплитуда вероятности любого события (квантового перехода) всегда может быть представлена

в виде скалярного произведения двух векторов, изображающих НАЧАЛЬНОЕ и КОНЕЧНОЕ состояния:

Слайд 4

| S 〉 = S1 ⋅ | 1 〉 + S2

⋅ | 2 〉 + . . . = ∑ Si ⋅ | i 〉
〈 D | = 〈 1 | ⋅ D1 + 〈 2 | ⋅ D2 + . . . = ∑ 〈 i | ⋅Di

Правило 2
любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов

Физический смысл координат
Si = 〈 i | S 〉 — амплитуда перехода частицы из начального состояния | S 〉 в конечное состояние 〈 i | (т.е. в i-е базисное состояние прибора-анализатора)
Di = 〈 D | i 〉 — амплитуда перехода частицы из начального состояния | i 〉 (т.е. i-го базисного состояния прибора-анализатора) в конечное состояние 〈 D |

Слайд 5

θ1 = kx = ωt θ2 = – θ1 = –

kx = – ωt

Ситуация 1: | S 〉 = S1 ⋅ | 1 〉 + S2 ⋅ | 2 〉 + . . . = ∑ Si ⋅ | i 〉
〈 D | = 〈 1 | ⋅ D1 + 〈 2 | ⋅ D2 + . . . = ∑ 〈 i | ⋅ Di
Ситуация 2: 〈 S | = 〈 1 | ⋅ S1* + 〈 2 | ⋅ S2* + . . . = ∑ 〈 i | ⋅ Si*
| D 〉 = D1* ⋅ | 1 〉 + D2* ⋅ | 2 〉 + . . . = ∑ Si* ⋅ | i 〉

Слайд 6

Правило 3
каждое состояние можно представить двумя экземплярами вектора состояния, которые

являются ЭРМИТОВО СОПРЯЖЕННЫМИ относительно друг друга
| S 〉 = 〈 S | + 〈 D | = | D 〉+

«бра»-векторы 〈 D | используются для представления конечных состояний,
«кет»-векторы | S 〉 используются для представления начальных состояний

Слайд 7

Анализ векторов состояния
Проблема: для вычисления амплитуд необходимы координатные представления векторов состояния
|

S 〉 = S1 ⋅ | 1 〉 + S2 ⋅ | 2 〉 + . . . = ∑ Si ⋅ | i 〉
〈 D | = 〈 1 | ⋅ D1 + 〈 2 | ⋅ D2 + . . . = ∑ 〈 i | ⋅ Di

{ | 1 〉 | 2 〉 . . . | n 〉 } = ???

Слайд 8

Правило 4
любое базисное состояние является собственным для некоторого спектрального анализатора

( А ), т.е. для этого состояния одна из наблюдаемых (А) имеет точно определенное значение, выраженное не функцией распределения, а одним числом: А = Аi .

Анализ вектора состояния

| S 〉 = S1 ⋅ | 1 〉 + S2 ⋅ | 2 〉 + . . . + Sn ⋅ | n 〉

Si = 〈 i | S 〉

| Si |2 = P (A = Ai)

∑ | Si |2 = ∑ Pi = 1

Условие нормировки

Слайд 9

Прибор А:
| Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉 +

а2 ⋅ | А2 〉 + ... = ∑ аi ⋅ | Аi 〉 , где аi = 〈 Аi | Ψ 〉
Прибор B:
| Ψ 〉В = b1 ⋅ | B1 〉 + b2 ⋅ | B2 〉 + ... = ∑ bi ⋅ | Bi 〉 , где bi = 〈 Bi | Ψ 〉
Прибор C:
| Ψ 〉С = c1 ⋅ | C1 〉 + c2 ⋅ | C2 〉 + ... = ∑ ci ⋅ | Ci 〉, где ci = 〈 Ci | Ψ 〉

Представления векторов состояния

Один и тот же вектор может быть представлен в разных координатных системах (в разном базисе)

Слайд 10

x
y
f
g
i
j
f
g
R
Rx
Ry
Rg
Rf
R = Rx + Ry = x ⋅ i + y

⋅ j = ( x, y ) ( в базисе i, j )
R = Rf + Rg = f ⋅ f + g ⋅ g = ( f, g ) ( в базисе f, g )

Слайд 11

UB←A и UA←B — матричные операторы преобразования координат вектора от одного

базиса к другому

А и В — зависимые наблюдаемые

Слайд 12

Независимые наблюдаемые
Прибор А:
| Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉

+ а2 ⋅ | А2 〉 + ... + аn ⋅ | Аn 〉 = (a1, a2, …, аn)
Прибор B:
| Ψ 〉В = b1 ⋅ | B1 〉 + b2 ⋅ | B2 〉 + ... + bn ⋅ | Bn 〉 = (b1, b2, …, bm)
Прибор C:
| Ψ 〉С = c1 ⋅ | C1 〉 + c2 ⋅ | C2 〉 + ... + cn ⋅ | Cn 〉 = (c1, c2, …, ck)

| Ψ 〉ABC = | Ψ 〉А ⊕ | Ψ 〉В ⊕ | Ψ 〉С

| Ψ 〉ABC = (a1, a2, …, аn, b1, b2, …, bm, c1, c2, …, ck)

«Прямая» сумма векторов

Слайд 13

Функциональные представления
| Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉

+ а2 ⋅ | А2 〉 + ... + аn ⋅ | Аn 〉 + … =
= (a1, a2, … , an, … → ∞)

Функциональное
представление
вектора
(«волновая» функция)

Скалярное произведение

Слайд 14

Пример: «частица в ящике»
P = | A |2
ψ(x, y, z) ~

sin(αx) ⋅ sin(βy) ⋅ sin(γz)

Слайд 15

Квантовомеханические операторы
ОПЕРАТОР — процедура (операция), выполняемая над векторами.

Слайд 16

b = F ⋅ a
F : a → b
Координатное представление

Слайд 17

Функциональное представление

Слайд 18

Явный вид оператора зависит от использованного базиса
b = F •

1-й базис ( b )1 = ( F )1 • ( a )1

2-й базис ( b )2 = ( F )2 • ( a )2

Слайд 19

U12 = (U21)–1 = (U21)+
U21 = (U12)–1 = (U12)+
Связь между представлениями

оператора F
( F )1 = U12 • ( F )2 • U21
( F )2 = U21 • ( F )1 • U12

Слайд 20

Спектральные свойства операторов
Каждый оператор F имеет:
набор СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ (функций)
( f1, f2,

... , fn )
набор СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (чисел)
( f1, f2, ... , fn )
которые удовлетворяют «уравнению на собственные значения»:
F • f = f • f

Слайд 21

ОПЕРАТОР
СПЕКТР оператора

Слайд 22

Операторы квантовомеханических наблюдаемых
Оператор наблюдаемой А

Слайд 23

Собственные векторы любого оператора КМ-наблюдаемой
а) взаимно ортогональны
〈 ϕi | ϕk

〉 = 0 если i ≠ k
б) образуют базисный набор
| Φ 〉 = С1 ⋅ | ϕ1 〉 + … + Сn ⋅ | ϕn 〉

Пример: оператор Гамильтона

Слайд 24

Квантовые переходы в атоме
〈 2s | 1s 〉 = A1s→2s =

0
(векторы 1s и 2s взаимно ортогональны, так как принадлежат спектру одного и того же оператора Н)

Представление нестационарных состояний

| Φ 〉 = С1⋅| h1 〉 + С2⋅| h2 〉 + … + Сn⋅| hn 〉

| Φ 〉 = (С1, С2, … , Сn)

| Вода〉 = 2 ⋅ | Н 〉 + 1 ⋅ | О 〉 = (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, … )

Слайд 25

МЕТОДИКА квантовой механики
Задача: найти все возможные значения некоторой наблюдаемой А =

(А1, А2, … Аn)

Решение: 1) прямое измерение
2) вычисление спектра оператора

Слайд 26

Выводы
1. Всякой механической наблюдаемой А можно сопоставить оператор А
2. Оператор А

является математической моделью спектрального анализатора:
собственные значения оператора А являются допустимыми значениями наблюдаемой А, которые обнаруживаются в ходе реального измерения
собственные векторы (функции) оператора А описывают собственные состояния (выходные пучки) спектрального анализатора и могут быть использованы для анализа векторов состояний

Слайд 27

Операторы возмущения
Вычисление глобальной амплитуды
АS→F→D = ∑∑ [ Dj ⋅ Fji ⋅

Si ]
АS→F→D = 〈 D | F | S 〉 = ∑∑ [ 〈 D | j 〉 ⋅ 〈 j | F | i 〉 ⋅ 〈 i | S 〉 ]

Слайд 28

Вектор начального состояния, измененный в результате внешнего воздействия (возмущения)

Слайд 29

Вывод
В квантовой механике используют три разновидности операторов
1. Операторы наблюдаемых
Применение
а) вычисление

допустимых значений наблюдаемых (собственные значения),
б) использование собственных вектров в качестве базисных наборов для анализа векторов состояния

Математический формализм

Содержание

Вектор состояния〈 D | S 〉 = 〈 D | 1

Правило 1амплитуда вероятности любого события (квантового перехода) всегда может быть представлена

| S 〉 = S1 ⋅ | 1 〉 + S2

θ1 = kx = ωt θ2 = – θ1 = –

Правило 3 каждое состояние можно представить двумя экземплярами вектора состояния, которые

Анализ векторов состоянияПроблема: для вычисления амплитуд необходимы координатные представления векторов состояния|

Правило 4 любое базисное состояние является собственным для некоторого спектрального анализатора

Прибор А:| Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉 +

xyfgijfgRRxRyRgRfR = Rx + Ry = x ⋅ i + y

UB←A и UA←B — матричные операторы преобразования координат вектора от одного

Независимые наблюдаемыеПрибор А:| Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉

Функциональные представления | Ψ 〉А = а1 ⋅ | А1 〉

Пример: «частица в ящике»P = | A |2ψ(x, y, z) ~

Квантовомеханические операторыОПЕРАТОР — процедура (операция), выполняемая над векторами.

b = F ⋅ aF : a → bКоординатное представление

Функциональное представление

Явный вид оператора зависит от использованного базиса b = F •

U12 = (U21)–1 = (U21)+U21 = (U12)–1 = (U12)+Связь между представлениями

Спектральные свойства операторовКаждый оператор F имеет:набор СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ (функций)( f1, f2,

ОПЕРАТОРСПЕКТР оператора

Операторы квантовомеханических наблюдаемыхОператор наблюдаемой А

Собственные векторы любого оператора КМ-наблюдаемой а) взаимно ортогональны〈 ϕi | ϕk

Квантовые переходы в атоме〈 2s | 1s 〉 = A1s→2s =

МЕТОДИКА квантовой механикиЗадача: найти все возможные значения некоторой наблюдаемой А =

Выводы1. Всякой механической наблюдаемой А можно сопоставить оператор А2. Оператор А

Операторы возмущенияВычисление глобальной амплитудыАS→F→D = ∑∑ [ Dj ⋅ Fji ⋅