Методы математического анализа при исследовании СЭП

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Методы математического анализа при исследовании СЭП

Содержание

2. 1.Элементарные функции Степенная Y=Xn Показательная Y=aX Логарифмическая Y=logaX Тригонометрические Y=sinX; Обратные тригонометрические функции Y=arcsinX…. Элементарными функциями
3. 1.Предельные величины в экономике Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Основными являются: предельные
4. Предельные величины в экономике Пусть q - количество произведенной продукции, C(q) - издержки соответствующие данному выпуску.
5. Предельные величины в экономике Пример. Пусть C(q) = 1500q - 2q2 + 0,002q3. Тогда дополнительные издержки,
6. 2.Эластичность и ее свойства Для исследования предельных величин используется понятие эластичности. Понятие эластичности было введено Аланом
7. Эластичность Определение. Эластичностью функции у = f(x) в точке х0 называется предел Eyx(x0) = lim [(Δy/y]
8. Эластичность Если ясно, в какой точке определяется эластичность и какая переменная является независимой, то могут опускаться
9. Эластичность Т.О. эластичность Еу - это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если,
10. Свойства эластичности 1. Эластичность в точке х0 суммы y=y1+...+yn положительных функций Yi=fi(X) (i= 1, 2, ...,
11. Свойства эластичности 2. Эластичность произведения функций U = U(х) и V = V(x) в точке X0
12. Свойства эластичности 3. Эластичность частного функций и = и(х) и v = v(x) в точке х0
13. Свойства эластичности 4. Для функций у =f(x) и х = g(t) эластичность у по t в
14. Задания: Найти эластичность функции y=C – const Найти эластичность функции y=x+C Найти эластичность функции y=xa
15. Геометрический смысл эластичности. Геометрический смысл производной: f'(x0) - это тангенс угла наклона касательной к графику функции
17. Если эластичность Y по X положительна, то она совпадает с отношением длин отрезков BC и АС
18. 3.Ценовая эластичность спроса. Пусть D = D(p) - спрос (в натуральных единицах) на некоторый товар при
19. Совершенно неэластичный спрос Термин означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению
20. Эластичность спроса Если имеется достаточный запас товара, то D = D(p) – то он характеризует количество
21. Вывод Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же
22. Цена, предельные издержки и объем производства Пусть q - выпуск продукции (в натуральных единицах); R(q) -выручка
23. Цена, предельные издержки и объем производства 1)Функции R(q),C(q) определены на полуинтервале [0, +∞) и дифференцируемы при
24. Цена, предельные издержки и объем производства Пусть условия 1), 2) выполнены. Тогда функция П(q) = R(q)
25. Цена, предельные издержки и объем производства В экономической теории равенство объясняется как правило, согласно которому фирма,
26. 4. Задачи оптимального потребительского выбора Пусть х - количество единиц первого продукта в наборе, у -
27. Функцией полезности U(x,y) называется функция, задающая степень полезности набора товаров, состоящего из х единиц товара Х
28. Данная функция удовлетворяет следующим условиям: 1. Для любых двух наборов товаров X и Y , таких,
29. Теорема Дебре Для стандартных предпочтений потребителя всегда можно построить функцию полезности.
30. Основные виды функций полезности
31. Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимозаменяемым товарам, т. е. ситуации, когда уменьшение
32. Задание на самостоятельную подготовку Найти и проанализировать другие виды функций полезности. Функцию полезности с полным дополнением
33. Общая постановка задачи состоит в поиске набора (х,y) максимизирующего функцию полезности и не превосходящего при этом
34. Задача минимизации стоимости. Общая постановка задачи состоит в поиске набора (X,Y) минимальной стоимости, обеспечивающего заданную полезность
35. Нахождение функций спроса. Определение. Пусть функция полезности U(x,y) при любых положительных Р1, Р2 и I имеет
37. Скачать презентацию

Слайд 2

1.Элементарные функции
Степенная Y=Xn
Показательная Y=aX
Логарифмическая Y=logaX
Тригонометрические Y=sinX;
Обратные тригонометрические функции Y=arcsinX….
Элементарными функциями называются

такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий

Слайд 3

1.Предельные величины в экономике
Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных

величин. Основными являются: предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению и т.д. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Рассмотрим предельные издержки.

Слайд 4

Предельные величины в экономике
Пусть q - количество произведенной продукции, C(q) -

издержки соответствующие данному выпуску. Обозначим предельные издержки МС, которые определяются как дополнительные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции. Тогда MC= C(q+Δq)-C(q)
Используя равенство ΔC ≈ dC, получим
МС =ΔС ≈ dC = C'(q) •Δ q = C'(q).
Поэтому МС ≈ C'(q).

Слайд 5

Предельные величины в экономике
Пример.
Пусть C(q) = 1500q - 2q2 +

0,002q3. Тогда дополнительные издержки, связанные с увеличением выпуска от q до q + 1, составят ΔС = C(q + 1) - C(q), что приближенно равно
C'(q) ≈ 1500 -4q + 0,006 q 2.

Слайд 6

2.Эластичность и ее свойства
Для исследования предельных величин используется понятие эластичности.
Понятие эластичности

было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. Это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Слайд 7

Эластичность
Определение.
Эластичностью функции у = f(x) в точке х0 называется предел
Eyx(x0)

= lim [(Δy/y] / [(Δx/x)]
ΔХ→0
Еyx (х0) - называют коэффициентом эластичности у по X.

Слайд 8

Эластичность
Если ясно, в какой точке определяется эластичность и какая переменная является

независимой, то могут опускаться отдельные символы. Часто используются сокращенные обозначения Еy и Еyx .
Из определения эластичности вытекает, что при достаточно малых Δх выполняется приближенное равенство
Δy/y : Δx/x ≈ Ey или
Δy/y ≈ Ey * Δx/x

Слайд 9

Эластичность
Т.О. эластичность Еу - это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин

у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается ≈ на Еy процентов.
Ey ≈(x/y)*y ′

Слайд 10

Свойства эластичности
1. Эластичность в точке х0 суммы y=y1+...+yn положительных функций Yi=fi(X)

(i= 1, 2, ..., n) удовлетворяет соотношению Emin <=Ey<=Emax
где Emin(Emax) - это минимальная (максимальная) эластичность в точке x0 функций yt.

Слайд 11

Свойства эластичности
2. Эластичность произведения функций U = U(х) и V =

V(x) в точке X0 равна сумме эластичностей функций и и v в той же точке:
Euv=Eu+Ev

Слайд 12

Свойства эластичности
3. Эластичность частного функций и = и(х) и v =

v(x) в точке х0 (v(x0 ) ≠ 0) равна разности эластичностей функций и и v в той же точке:
Eu/v=Eu-Ev

Слайд 13

Свойства эластичности
4. Для функций у =f(x) и х = g(t) эластичность

у по t в точке t0 удовлетворяет следующему равенству:
Yet(t0)=Eyx(g(t0))*Ext(t0)

Слайд 14

Задания:
Найти эластичность функции y=C – const
Найти эластичность функции y=x+C
Найти эластичность функции

y=xa

Слайд 15

Геометрический смысл эластичности.
Геометрический смысл производной: f'(x0) - это тангенс угла наклона

касательной к графику функции у =f(x) в точке С(х0, у0), у0 =f(x0). Геометрический смысл эластичности функции f(x) в точке x0 связан с разбиением данной касательной на отрезки точками А, В и С, где А(X0, 0) - точка пересечения касательной с осью Ох, B(0, уb) - точка пересечения касательной с осью Оу

Слайд 16

Слайд 17

Если эластичность Y по X положительна, то она совпадает с отношением

длин отрезков BC и АС
Eyx(x0)=BC/AC
Если эластичность Y по X отрицательна , то выполняется следующее соотношение
Eyx(x0)=- BC/AC

Слайд 18

3.Ценовая эластичность спроса.
Пусть D = D(p) - спрос (в натуральных

единицах) на некоторый товар при цене P. Так как при увеличении цены спрос уменьшается, то эластичность спроса ED < 0. Спрос называется эластичным, если │ЕD│ > 1, и неэластичным, если │ED │< 1.

Слайд 19

Совершенно неэластичный спрос
Термин означает крайний случай, когда изменение цены не приводит

ни к какому изменению спроса. В этом случае ED = 0. В другом крайнем случае, когда самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. Можно считать, что для совершенно эластичного спроса │ED │= ∞.

Слайд 20

Эластичность спроса
Если имеется достаточный запас товара, то D = D(p) – то

он характеризует количество проданного товара. В этом случае общая выручка всех продавцов
R =P*D.
Находим эластичность выручки по цене
ER=R'/R *P= ((D + PD')/PD)*P=
1+ (D'/D)*P=1+ED
Т.О., при эластичном спросе ER < 0, а при неэластичном спросе ER > 0.

Слайд 21

Вывод
Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в

противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.

Слайд 22

Цена, предельные издержки и объем производства
Пусть q - выпуск продукции (в

натуральных единицах); R(q) -выручка от продаж; C(q) - издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль
П(q)=R(q)-C(q)

Слайд 23

Цена, предельные издержки и объем производства
1)Функции R(q),C(q) определены на полуинтервале [0,

+∞) и дифференцируемы при q> 0.
2) Тогда максимум прибыли достигается в некоторой точке q* ≠ 0.

Слайд 24

Цена, предельные издержки и объем производства
Пусть условия 1), 2) выполнены. Тогда

функция П(q) = R(q) -C(q) дифференцируема и имеет на интервале (0, + ∞) максимум в точке q*≠ 0. По теореме Ферма П'(q*) = 0. Так как
П'(q) = R' (q) -C'(q) то в точке q = q* имеем равенство
R' (q*) = C'(q*)

Слайд 25

Цена, предельные издержки и объем производства
В экономической теории равенство объясняется как

правило, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объем производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.
В случае, когда объем производства q не влияет на цену продукции р, имеем R(q) =pq, R' (q) =p.
Тогда p = C'(q*)

Слайд 26

4. Задачи оптимального потребительского выбора
Пусть х - количество единиц первого продукта

в наборе, у - количество единиц второго продукта в наборе, p1 -цена единицы первого продукта, р2 -цена единицы второго продукта, U(x,y) - полезность набора (x,y)) выраженная числом, х*р1 + у*р2 -стоимость набора (х, у);
I - количество средств, которое можно суммарно потратить на первый и второй продукты

Слайд 27

Функцией полезности U(x,y) называется функция, задающая степень полезности набора товаров, состоящего

из х единиц товара Х и у единиц товара У.

Слайд 28

Данная функция удовлетворяет следующим условиям:
1. Для любых двух наборов товаров

X и Y , таких, что выполняется
2. Для любых двух наборов товаров X и Y , таких , что выполняется .

Слайд 29

Теорема Дебре
Для стандартных предпочтений потребителя всегда можно построить функцию полезности.

Слайд 30

Основные виды функций полезности

Слайд 31

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимозаменяемым товарам,

т. е. ситуации, когда уменьшение потребление, какого либо вида товара может быть компенсировано потреблением дополнительных единиц любого другого товара.

Слайд 32

Задание на самостоятельную подготовку
Найти и проанализировать другие виды функций полезности.
Функцию полезности

с полным дополнением благ (функция полезности Леонтьева)
Неоклассическую функцию полезности (функция полезности Кобба-Дугласа)
Функции безразличия.

Слайд 33

Общая постановка задачи состоит в поиске набора (х,y) максимизирующего функцию полезности

и не превосходящего при этом по стоимости величины I.
U (x,у) —>max
P1 *Х+ P2У*≤I, х≥0, у ≥0

Слайд 34

Задача минимизации стоимости.
Общая постановка задачи состоит в поиске набора (X,Y) минимальной

стоимости, обеспечивающего заданную полезность Uзад.
I=P1x+P2y ? min, U(x,y)>= Uзад,
x>=0, y>=0.

Слайд 35

Нахождение функций спроса.
Определение. Пусть функция полезности U(x,y) при любых положительных Р1,

Р2 и I имеет на множестве (Р1*Х+ Р2*Y)≤I, х≥0, у ≥0) единственную точку глобального максимума (x*, y*).

Методы математического анализа при исследовании СЭП

Содержание

1.Предельные величины в экономике Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных

Предельные величины в экономике Пусть q - количество произведенной продукции, C(q) -

Предельные величины в экономике Пример. Пусть C(q) = 1500q - 2q2 +

2.Эластичность и ее свойстваДля исследования предельных величин используется понятие эластичности.Понятие эластичности

ЭластичностьОпределение. Эластичностью функции у = f(x) в точке х0 называется пределEyx(x0)

ЭластичностьЕсли ясно, в какой точке определяется эластичность и какая переменная является

ЭластичностьТ.О. эластичность Еу - это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин

Свойства эластичности1. Эластичность в точке х0 суммы y=y1+...+yn положительных функций Yi=fi(X)

Свойства эластичности2. Эластичность произведения функций U = U(х) и V =

Свойства эластичности3. Эластичность частного функций и = и(х) и v =

Свойства эластичности4. Для функций у =f(x) и х = g(t) эластичность

Задания:Найти эластичность функции y=C – constНайти эластичность функции y=x+CНайти эластичность функции

Геометрический смысл эластичности.Геометрический смысл производной: f'(x0) - это тангенс угла наклона

Если эластичность Y по X положительна, то она совпадает с отношением

3.Ценовая эластичность спроса. Пусть D = D(p) - спрос (в натуральных

Совершенно неэластичный спросТермин означает крайний случай, когда изменение цены не приводит

Эластичность спросаЕсли имеется достаточный запас товара, то D = D(p) – то

ВыводЕсли спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в

Цена, предельные издержки и объем производстваПусть q - выпуск продукции (в

Цена, предельные издержки и объем производства1)Функции R(q),C(q) определены на полуинтервале [0,

Цена, предельные издержки и объем производстваПусть условия 1), 2) выполнены. Тогда

Цена, предельные издержки и объем производстваВ экономической теории равенство объясняется как

4. Задачи оптимального потребительского выбораПусть х - количество единиц первого продукта