Непрерывность функций Лекция 3

Август 28, 2022

Главная
Алгебра
Непрерывность функций Лекция 3

Содержание

2. Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если 1)она определена в
3. Условие непрерывности Существование равносильно тому, что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при
4. Непрерывность на множестве Говорят, что функция непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке
5. Непрерывность Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим и назовем его приращением аргумента в точке
6. Непрерывность Теорема. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует
7. Теоремы о непрерывных функциях Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве Х функции и
8. Теоремы о непрерывных функциях Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а
9. Непрерывность элементарных функций Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и
10. Разрывы функций Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи. 1.Если существуют и конечны, но
11. Пример Исследовать на непрерывность функцию Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит
12. Решение Из условия непрерывности следует: Таким образом, в точке 0 функция претерпевает разрыв 1-го рода со
13. График функции На рисунке изображена функция, имеющая разрыв 1-го рода в начале координат.
14. Разрывы функций 2.Если в точке , но в точке функция либо не определена, либо , то
15. Разрывы функций 3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва,
16. Пример Исследуем функцию . Как элементарная функция она всюду непрерывна, кроме точки х=1. , Имеем разрыв
17. Свойства непрерывных на отрезке функций Первая теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция определена
18. Свойства непрерывных на отрезке функций Проиллюстрируем теорему. Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то
19. Свойства непрерывных на отрезке функций Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция определена и
20. Свойства непрерывных на отрезке функций Теорема 1 Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке [a,b],
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Непрерывность
Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке

, если
1)она определена в этой точке,
2) существует и
3)

Слайд 3

Условие непрерывности
Существование равносильно тому,
что существуют равные друг другу

левосторонний и правосторонний пределы функции при , равные к тому же и значению функции в точке, то есть

Слайд 4

Непрерывность на множестве
Говорят, что функция непрерывна на множестве Х, если

она непрерывна в каждой точке этого множества.
Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то говорят, что она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

Слайд 5

Непрерывность
Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим и назовем

его приращением аргумента в точке ,
будем называть приращением функции в точке .

Слайд 6

Непрерывность
Теорема. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если

Слайд 7

Теоремы о непрерывных функциях
Теорема.
Пусть заданные на одном и том

же множестве Х функции и непрерывны в точке . Тогда функции
, ,
непрерывны в точке ,если знаменатель не равен нулю в этой точке:
.

Слайд 8

Теоремы о непрерывных функциях
Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция

непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке .

Слайд 9

Непрерывность элементарных функций
Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают

в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например,
является элементарной.
Все элементарные функции непрерывны в области определения

Слайд 10

Разрывы функций
Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.

1.Если существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При этом величину называют скачком функции в точке .

Слайд 11

Пример
Исследовать на непрерывность функцию
Эта функция может претерпевать разрыв только в

точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Слайд 12

Решение
Из условия непрерывности следует:
Таким образом, в точке 0 функция

претерпевает разрыв 1-го рода со скачком 1.

Слайд 13

График функции
На рисунке изображена функция, имеющая разрыв 1-го рода в

начале координат.

Слайд 14

Разрывы функций
2.Если в точке , но в точке функция либо

не определена, либо , то эта точка является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив
,
то получится непрерывная в точке функция.

Слайд 15

Разрывы функций
3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого

рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
Очевидно, что точки разрыва второго рода - это точки, в которых функция стремится к бесконечности. Например, в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.

Слайд 16

Пример
Исследуем функцию . Как элементарная функция она всюду непрерывна, кроме

точки х=1.
,
Имеем разрыв 2-го рода с бесконечным скачком.

Слайд 17

Свойства непрерывных на отрезке функций
Первая теорема Больцано-Коши об обращении функции

в нуль. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, т. е.
Тогда существует точка
такая, что

Слайд 18

Свойства непрерывных на отрезке функций
Проиллюстрируем теорему.
Из рисунка видно, что

функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

Слайд 19

Свойства непрерывных на отрезке функций
Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении

функции. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число между числами , найдется точка такая, что
.

Слайд 20

Свойства непрерывных на отрезке функций
Теорема 1 Вейерштрасса.
Если функция

определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что m М для любого .

Непрерывность функций Лекция 3

Содержание

Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке

Условие непрерывности Существование равносильно тому, что существуют равные друг другу

Непрерывность на множестве Говорят, что функция непрерывна на множестве Х, если

Непрерывность Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим и назовем

Непрерывность Теорема. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

Теоремы о непрерывных функциях Теорема. Пусть заданные на одном и том

Теоремы о непрерывных функциях Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция

Непрерывность элементарных функций Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают

Разрывы функций Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.

Пример Исследовать на непрерывность функциюЭта функция может претерпевать разрыв только в

Решение Из условия непрерывности следует:Таким образом, в точке 0 функция

График функции На рисунке изображена функция, имеющая разрыв 1-го рода в

Разрывы функций 2.Если в точке , но в точке функция либо

Разрывы функций 3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого

Пример Исследуем функцию . Как элементарная функция она всюду непрерывна, кроме

Свойства непрерывных на отрезке функций Первая теорема Больцано-Коши об обращении функции

Свойства непрерывных на отрезке функций Проиллюстрируем теорему. Из рисунка видно, что

Свойства непрерывных на отрезке функций Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении

Свойства непрерывных на отрезке функций Теорема 1 Вейерштрасса. Если функция

Похожие презентации