ортогональный оператор

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
ортогональный оператор

Содержание

2. 1.Ортогональная матрица Определение 1.1. Действительная квадратная матрица Q такая что Q−1 = QT называется ортогональной матрицей.
3. Пример .
4. Теорема 1.3. Следующие утверждения эквивалентны для n×n матрицы A. (a) A – ортогональная матрица. (b) Строки
5. Доказательство. Доказательство проведем для одного из пунктов, остальные доказываются аналогично. Предположим выполняется пункт (а). Докажем пункт
6. Теорема 1.4. (свойства ортогональной матрицы). (a) Матрица, обратная к ортогональной, также является ортогональной. (b) Произведение ортогональных
7. Доказательство.
8. Теорема 1.5. Матрица перехода от одной ортонормированной базы к другой в евклидовом пространстве является ортогональной матрицей.
9. 2. Ортогональный оператор Определение 2.1. Линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве V называется ортогональным, если он
10. Теорема 2. Ортогональный оператор в n-мерном евклидовом пространстве сохраняет скалярное произведение. Доказательство. Сравниваем Получаем QED
11. Теорема 2.3. Линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве V является ортогональным т. и т.т.к. матрица Т
12. Доказательство. (b1) = t11 b1 + t21 b2 + … + tn1 bn (b2) = t12
14. Скачать презентацию

Слайд 2

1.Ортогональная матрица
Определение 1.1. Действительная квадратная матрица Q такая что
Q−1 =

QT
называется ортогональной матрицей.
Следствие 1.2. Квадратная матрица Q ортогональна тогда и только тогда, когда
QTQ = QQT = I.

Слайд 3

Пример .

Слайд 4

Теорема 1.3. Следующие утверждения эквивалентны для n×n матрицы A.
(a) A – ортогональная

матрица.
(b) Строки матрицы A образуют ортонормированное множество в евклидовом пространстве строк Rn.
(c) Столбцы матрицы A образуют ортонормированное множество в евклидовом пространстве столбцов Rn.

Слайд 5

Доказательство.
Доказательство проведем для одного из пунктов,
остальные доказываются аналогично.
Предположим выполняется

пункт (а). Докажем пункт (b).

Слайд 6

Теорема 1.4. (свойства ортогональной матрицы).
(a) Матрица, обратная к ортогональной, также является ортогональной.
(b) Произведение

ортогональных матриц является ортогональной матрицей.
Если Q ортогональная матрица, то det(Q) = 1 или det(Q) = −1.

Слайд 7

Доказательство.

Слайд 8

Теорема 1.5. Матрица перехода от одной ортонормированной базы к другой в

евклидовом пространстве является ортогональной матрицей.
Доказательство.

Пусть даны два базиса В = и G = -ортонормированные базисы евклидова пространства:
Р – матрица перехода.
столбцы Р образуют
ортонормированную систему,
поэтому Р – ортогональная . QED

Слайд 9

2. Ортогональный оператор
Определение 2.1. Линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве V

называется ортогональным, если он сохраняет длину вектора:
Замечание. На основании определения можно для ортогонального оператора записать

Слайд 10

Теорема 2. Ортогональный оператор в n-мерном евклидовом пространстве сохраняет скалярное произведение.
Доказательство.
Сравниваем
Получаем

QED

Слайд 11

Теорема 2.3. Линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве V является ортогональным

т. и т.т.к. матрица Т оператора в ортонормированном базисе является ортогональной матрицей.

Слайд 12

Доказательство.
(b1) = t11 b1 + t21 b2 + …

+ tn1 bn
(b2) = t12 b1 + t22 b2 + … + tn2 bn
…………………………………………………………………………..
(bn) = t1n b1 + t2n b2 + … + tnn bn

ортогональный оператор

Содержание

1.Ортогональная матрицаОпределение 1.1. Действительная квадратная матрица Q такая что Q−1 =

Пример .

Теорема 1.3. Следующие утверждения эквивалентны для n×n матрицы A.(a) A – ортогональная

Доказательство.Доказательство проведем для одного из пунктов, остальные доказываются аналогично. Предположим выполняется

Теорема 1.4. (свойства ортогональной матрицы).(a) Матрица, обратная к ортогональной, также является ортогональной.(b) Произведение