Основы информационных технологий

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Основы информационных технологий

Содержание

2. 09/02/2023 Литература Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978. Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А.
3. 09/02/2023 Метод и его погрешность При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой задачи A(Y)=b Y=F(x)
4. 09/02/2023 Порядок погрешности метода (продолжение) Обычно при уменьшении некоторого параметра h метода погрешность решения εh стремится
5. 09/02/2023 Из математической физики Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно Операторы дифференцирования:
6. 09/02/2023 Операторы дифференцирования Теорема Остроградского – Гаусса
7. 09/02/2023 Обыкновенные ДУ Система ОДУ первого порядка или коротко Система ОДУ второго порядка
8. 09/02/2023 Задача Коши u x a u0 b
9. 09/02/2023 Краевая задача Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b]. Эта задача обычно ставится для ДУ
10. 09/02/2023 ДУ в частных производных (ДУЧП) - параболические - гиперболические - эллиптические
11. 09/02/2023 Граничные условия Общее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, например Решением является Начальные условия Граничные
12. 09/02/2023 Суть метода сеток Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в виде достаточно
13. 09/02/2023 Результат решения по методу сеток x b 0 α u β x b 0 α
14. 09/02/2023 Получение конечноразностной схемы Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки дифференциальное
15. 09/02/2023 Конечно-разностная схема
16. 09/02/2023 система конечно-разностных уравнений Стандартная система с трехдиагональной матрицей:
17. 09/02/2023 Погрешность аппроксимации При замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая погрешность аппроксимации конечно-разностной
18. 09/02/2023 Оценка погрешности решения Понятие устойчивости Погрешность решения : Для сходимости к точному решению кроме необходима
19. 09/02/2023 Проекционные методы решения краевых задач - Краевая задача - базис из функций - Представление решения
20. 09/02/2023 Решение одномерной краевой задачи методом Галеркина Найти решение Ищем решение в виде Проекционное уравнение преобразуем
21. 09/02/2023 Решение одномерной краевой задачи (продолжение1) Подставляем uN Преобразуем и получаем систему основных проекционных уравнений В
22. 09/02/2023 Базис из финитных функций Финитной называется функция , определенная для всех , но отличная от
23. 09/02/2023 Базис из финитных функций- крышек
24. 09/02/2023 Финитная функция на треугольных конечных элементах
26. Скачать презентацию

Слайд 2

09/02/2023
Литература
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.
Болсун А.И.,

Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988.
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука, 1980.
Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007

Слайд 3

09/02/2023
Метод и его погрешность
При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой

задачи
A(Y)=b Y=F(x)
представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:
Yh=Mh(x)
Mh – метод, h – параметр метода
При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится контролируемая параметром h метода погрешность
ε(h)=Y-Yh
Получение зависимости погрешности решения ε(h) от параметров вычислительного метода является одной из основных задач вычислительной математики

Слайд 4

09/02/2023
Порядок погрешности метода (продолжение)
Обычно при уменьшении некоторого параметра h метода погрешность

решения εh стремится к нулю, т.е.
при
В этом случае, если удается получить оценку вида
где С - const и не зависит от h, считается, что порядок погрешности равен p и обозначается коротко

Слайд 5

09/02/2023
Из математической физики
Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно
Операторы дифференцирования:

Слайд 6

09/02/2023
Операторы дифференцирования
Теорема Остроградского – Гаусса

Слайд 7

09/02/2023
Обыкновенные ДУ
Система ОДУ первого порядка
или коротко
Система ОДУ второго порядка

Слайд 8

09/02/2023
Задача Коши
u
x
a
u0
b

Слайд 9

09/02/2023
Краевая задача
Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b].
Эта задача обычно

ставится для ДУ второго порядка
В общем случае

Слайд 10

09/02/2023
ДУ в частных производных (ДУЧП)
- параболические
- гиперболические
- эллиптические

Слайд 11

09/02/2023
Граничные условия
Общее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, например
Решением является
Начальные условия
Граничные

условия
первого рода второго рода третьего рода
Дирихле Неймана Ньютона

Слайд 12

09/02/2023
Суть метода сеток
Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают

в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения.
Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.
Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле
В общем случае
Г - граница многомерной области Ω, внутри которой необходимо получить решение. В рассматриваемом частном случае Ω представляет собой отрезок

Слайд 13

09/02/2023
Результат решения по методу сеток
x
b
0
α
u
β
x
b
0
α
u
β
xi
ui
Искомое решение
Решение в виде таблицы

Слайд 14

09/02/2023
Получение конечноразностной схемы
Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах

выбранной сетки
дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах.
Такая система алгебраических уравнений называется конечно-разностной схемой
Обозначим
Имеется много способов получения конечно-разностной схемы

Слайд 15

09/02/2023
Конечно-разностная схема

Слайд 16

09/02/2023
система конечно-разностных уравнений
Стандартная система с трехдиагональной матрицей:

Слайд 17

09/02/2023
Погрешность аппроксимации
При замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая

погрешность аппроксимации конечно-разностной схемой дифференциального уравнения
подставим в конечно-разностную схему вместо значения точного решения .
Ввиду того, что , после такой подстановки получается невязка
Погрешность аппроксимации
Основное требование: при
Ассимптотическая оценка
Порядок погрешности аппроксимации = p

Слайд 18

09/02/2023
Оценка погрешности решения Понятие устойчивости
Погрешность решения :
Для сходимости к точному решению

кроме необходима
устойчивость к ошибкам округления
Основная теорема

Слайд 19

09/02/2023
Проекционные методы решения краевых задач
- Краевая задача
- базис из функций
-

Представление решения

- Проекционное уравнение

Слайд 20

09/02/2023
Решение одномерной краевой задачи методом Галеркина
Найти решение
Ищем решение в виде
Проекционное уравнение
преобразуем

Слайд 21

09/02/2023
Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)
Подставляем uN
Преобразуем и получаем
систему основных проекционных

уравнений
В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему базисных функций

Слайд 22

09/02/2023
Базис из финитных функций
Финитной называется функция , определенная для всех

, но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области Ωk⊂Ω, называемой конечным носителем

Слайд 23

09/02/2023
Базис из финитных функций- крышек

Слайд 24

Основы информационных технологий

Содержание

09/02/2023Литература Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978. Болсун А.И.,

09/02/2023Метод и его погрешностьПри построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой

09/02/2023Порядок погрешности метода (продолжение)Обычно при уменьшении некоторого параметра h метода погрешность

09/02/2023Из математической физикиМатематической моделью поля является функция нескольких переменных, обычноОператоры дифференцирования:

09/02/2023Операторы дифференцированияТеорема Остроградского – Гаусса

09/02/2023Обыкновенные ДУСистема ОДУ первого порядка или короткоСистема ОДУ второго порядка

09/02/2023Задача Кошиuxau0b

09/02/2023Краевая задачаУсловия заданы на обоих концах отрезка [a,b]. Эта задача обычно

09/02/2023ДУ в частных производных (ДУЧП)- параболические- гиперболические- эллиптические

09/02/2023Граничные условияОбщее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, напримерРешением являетсяНачальные условияГраничные

09/02/2023Суть метода сетокСуть метода сеток в том, что решение ДУ получают

09/02/2023Результат решения по методу сетокxb0αuβxb0αuβxiuiИскомое решениеРешение в виде таблицы

09/02/2023Получение конечноразностной схемыРешение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах

09/02/2023Конечно-разностная схема

09/02/2023система конечно-разностных уравненийСтандартная система с трехдиагональной матрицей:

09/02/2023Погрешность аппроксимацииПри замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая

09/02/2023Оценка погрешности решения Понятие устойчивостиПогрешность решения :Для сходимости к точному решению

09/02/2023Проекционные методы решения краевых задач- Краевая задача - базис из функций-

09/02/2023Решение одномерной краевой задачи методом ГалеркинаНайти решениеИщем решение в видеПроекционное уравнениепреобразуем

09/02/2023Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)Подставляем uNПреобразуем и получаем систему основных проекционных

09/02/2023Базис из финитных функцийФинитной называется функция , определенная для всех

09/02/2023Базис из финитных функций- крышек

09/02/2023Финитная функция на треугольных конечных элементах

Похожие презентации