Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики

Содержание

2. 09/02/2023 Цель курса: Освоение методологии вычислительного эксперимента на базе моделей сплошной среды, используемых для поддержки принятия
3. 09/02/2023 Литература Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978. Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А.
4. 09/02/2023 Введение: система – средство достижения цели человеком В качестве средства достижения цели человек создает (или
5. 09/02/2023 Введение: Задачи анализа и синтеза Для достижения своих целей, в частности при создании полезных систем,
6. 09/02/2023 Примеры технических систем Движение планет и космических объектов Динамика атмосферы и океана Техника генерации, усиления,
7. 09/02/2023 Тема 1 Математические модели и численные методы Как исследуются физические явления и решаются задачи Как
8. 09/02/2023 Как исследуются физические явления и решаются задачи Имеется два способа решения инженерных и физических задач:
9. 09/02/2023 Математическая модель - это описание исследуемого объекта (системы) с помощью математических символов и операций над
10. 09/02/2023 Пример: Модель конденсатора + - Простейшая модель Не учитывает краевых эффектов Более сложная модель С
11. 09/02/2023 Методы (алгоритмы) решения математических задач Решить задачу - это значит указать алгоритм (т.е. строгую последовательность
12. 09/02/2023 Как оценивается погрешность вычислений? Погрешность обычно оценивают одним числом ε, характеризующим близость между точным и
13. 09/02/2023 Нормированное пространство Множество элементов в котором каждому элементу поставлено в соответствие число ║X║ (норма X),
14. 09/02/2023 Пространство непрерывных функций С[ab] Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных на интервале [a,
15. 09/02/2023 Например 1 1
16. 09/02/2023 Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функций Множество функций, для которых В L2[a, b]
17. 09/02/2023 Например 1 1
18. 09/02/2023 Заметим, что функции f и g на рис. будут "близкими" в пространстве L2 и "далекими"
19. 09/02/2023 Скалярное произведение в L2[a,b] Ортогональными называются две функции из L2, если (f, g)=0.
20. 09/02/2023 Например 1 1 1
21. 09/02/2023 Пространство Соболева Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом производные до s порядка. Норма определяется как
22. 09/02/2023 Виды погрешностей Абсолютная погрешность ΔX между точным X и приближенным значениями некоторого элемента определяется через
23. 09/02/2023 Пример z f
24. 09/02/2023 Откуда возникают погрешности расчетов? Есть четыре источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении
25. 09/02/2023 Неточность математической модели Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и описывает лишь основные
26. 09/02/2023 Погрешность исходных данных Исходные данные обычно получаются из измерений либо - наоборот, по этим данным
27. 09/02/2023 Погрешность метода При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде бесконечного предела последовательности
28. 09/02/2023 Например, метод вычисления y=e-x при x>0 Метод – несколько первых членов ряда Погрешность:
29. 09/02/2023 Ошибки округлений Все расчеты на ЭВМ производятся с конечным числом значащих цифр, определяемым объемом ячеек
30. 09/02/2023 Итерационные методы решения задач Задача: Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению x*
31. 09/02/2023 Процесс вычислений Задают начальное приближение и по формуле xm=ϕ(xm-1) последовательно находят Процесс получения следующего k-го
32. 09/02/2023 Пример простого итерационного метода Приводим уравнение к виду Можно так Рекуррентная последовательность Задаем начальное условие
34. Скачать презентацию

Слайд 2

09/02/2023
Цель курса: Освоение методологии вычислительного эксперимента на базе моделей сплошной среды,

используемых для поддержки принятия решений при проектировании технических систем

Слайд 3

09/02/2023
Литература
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.
Болсун А.И.,

Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988.
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука, 1980.
Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007

Слайд 4

09/02/2023
Введение: система – средство достижения цели человеком
В качестве средства достижения цели

человек создает (или приспосабливает имеющуюся) некую
систему – т.е. набор связанных элементов, образующих целостный объект.
Например, машина, телевизор, система производства, система нагрева, экономическая, общественная, мировоззренческая,…
Первые системы – рука-палка, колесо-телега, катапульта,..
Чтобы создать нужную систему он должен:
Предугадывать результаты действий системы.
Придумывать, как она должна быть устроена.

Слайд 5

09/02/2023
Введение: Задачи анализа и синтеза
Для достижения своих целей, в частности при

создании полезных систем, человеку приходится постоянно решать две задачи –
Экспертную и конструктивную.
Э.З. ставится следующим образом - «Что будет, если…». Как ведет себя система(объект) в тех или иных условиях?
Это задача анализа.
К.З. ставится следующим образом – «Как сделать, чтобы…». Как сконструировать систему (объект) с заданными свойствами?
Это задача синтеза.

Слайд 6

09/02/2023
Примеры технических систем
Движение планет и космических объектов
Динамика атмосферы и океана
Техника генерации,

усиления, передачи и приема электромагнитных волн
Элементы компьютерной техники- элементы памяти, записи, преобразования сигналов
Технологические установки выращивания кристаллов с заданными свойствами
Установки сушки, термообработки и охлаждения материалов
Устройства автоматического управления
Все эти и многие другие системы объединяет то, что они описываются дифференциальными уравнениями.
Поэтому, чтобы их спроектировать, необходимо решить ДУ и найти оптимальные условия работы.
Большая доля современных пакетов программ и систем программирования для этого предназначена.

Слайд 7

09/02/2023
Тема 1 Математические модели и численные методы
Как исследуются физические явления

и решаются задачи
Как оценивается погрешность вычислений?
Откуда возникают погрешности расчетов?
Итерационные методы решения задач

Слайд 8

09/02/2023
Как исследуются физические явления и решаются задачи
Имеется два способа решения инженерных

и физических задач:
экспериментальный и теоретический.
Экспериментальный метод, как правило, связан с большими материальными затратами, а иногда в принципе невозможен.
Теоретический метод, или математическое моделирование, опирается на знание фундаментальных законов природы, используя которые строят математическую модель исследуемой системы.

Слайд 9

09/02/2023
Математическая модель - это описание исследуемого объекта (системы) с помощью математических

символов и операций над ними

Требования к модели:
Адекватность. - В модели реализуется отображение существенных свойств объекта при его изучении.
Экономичность. Бритва Оккама- отбрасываются незначительные факторы.
Принцип дополнительности. Использовать несколько моделей по возможности.
Математическая постановка задачи -предполагает описание математической модели и указание цели ее исследования.
найти max f(x);
найти x, при котором f(x)=0, и др.

Слайд 10

09/02/2023
Пример: Модель конденсатора
+
-
Простейшая модель
Не учитывает
краевых эффектов
Более сложная модель
С учетом краевых

искажений поля

Слайд 11

09/02/2023
Методы (алгоритмы) решения математических задач
Решить задачу - это значит указать алгоритм

(т.е. строгую последовательность действий) для получения требуемого результата из исходных данных
К точным методам относятся алгоритмы, позволяющие за конечное число действий получить в принципе (если нет ошибок округления) точное решение. Обычно оно получается в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма.
Приближенные - это методы, позволяющие за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к задаче, имеющей точное решение.
Численные методы предполагают разработку вычислительного алгоритма, т.е. конечной, строгой последовательности арифметических и логических действий, обеспечивающих получение решения с заданной контролируемой погрешностью.

Слайд 12

09/02/2023
Как оценивается погрешность вычислений?
Погрешность обычно оценивают одним числом ε, характеризующим близость

между точным и приближенным значениями некоторой величины. Близость мы привыкли оценивать расстоянием между объектами.

А как оценить близость между двумя функциями f(x) и g(x) (векторами , матрицами A, B)?

Слайд 13

09/02/2023
Нормированное пространство
Множество элементов в котором каждому элементу поставлено в соответствие

число ║X║ (норма X), удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. - норма (положительное число).
2. только при X = ∅ (∅- нулевой элемент).
3. , α - число
4. - неравенство треугольника.
В качестве элементов рассматриваются функции, векторы или матрицы.
Введены обычные операции + - и умножение * на число α
Расстояние между элементами

Слайд 14

09/02/2023
Пространство непрерывных функций С[ab]
Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных

на интервале [a, b].
Норма и расстояние в C[a, b] определяются по формулам:

Слайд 15

09/02/2023
Например
1
1

Слайд 16

09/02/2023
Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функций
Множество функций, для которых

В L2[a, b] имеются и разрывные функции, т.е. C[a, b]⊆ L2[a, b].
Норма и расстояние:

Слайд 17

09/02/2023
Например
1
1

Слайд 18

09/02/2023
Заметим, что функции f и g на рис.
будут "близкими" в пространстве

L2
и "далекими" в пространстве С,
т.е. норма С более «сильная»:

Слайд 19

09/02/2023
Скалярное произведение в L2[a,b]
Ортогональными называются две функции из L2, если

(f, g)=0.

Слайд 20

09/02/2023
Например
1
1
1

Слайд 21

09/02/2023
Пространство Соболева
Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом производные до s

порядка.
Норма определяется как
Расстояние
В этом пространстве близость между функциями характеризует также близость их производных.
Функции f и h на рис. 1.1 будут «близкими» по норме и «далекими» по норме , причем

Слайд 22

09/02/2023
Виды погрешностей
Абсолютная погрешность ΔX между точным X и приближенным значениями некоторого

элемента определяется через норму разности
Относительная погрешность δX определяется как отношение абсолютной погрешности к норме элемента

Слайд 23

09/02/2023
Пример
z
f

Слайд 24

09/02/2023
Откуда возникают погрешности расчетов?
Есть четыре источника погрешности результата, о которых

следует помнить при выполнении расчетов
1. Неточность математической модели
2. Погрешность исходных данных
3. Погрешность метода
4. Ошибки округлений

Слайд 25

09/02/2023
Неточность математической модели
Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и

описывает лишь основные факторы, существенные при решении конкретной технической задачи.
Уточнение модели за счет введения описания дополнительных факторов обычно приводит к ее усложнению и, как следствие, к трудности использования, поэтому необходим определенный компромисс (Бритва Оккама).
Выбор удачного компромисса - это творческий процесс, требующий большого опыта и инженерной интуиции.

Слайд 26

09/02/2023
Погрешность исходных данных
Исходные данные обычно получаются из измерений либо - наоборот,

по этим данным затем делается устройство. В каждом случае имеется так называемая неустранимая погрешность между исходными данными, участвующими в расчетах, и теми, которые реализуются. В результате этого получаемое решение также будет отличаться от реализуемого в устройстве.
В зависимости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на два класса: корректные и некорректные.
Задача называется корректной, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения.
Задача называется некорректной, если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам в результатах,.
Для решения некорректных, но правильных с физической точки зрения задач разрабатываются специальные методы

Слайд 27

09/02/2023
Погрешность метода
При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде

бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий.
При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится погрешность, контролируемая некоторыми параметрами метода.
Получение зависимости погрешности решения от параметров вычислительного метода является одной из основных задач вычислительной математики
Обычно при уменьшении некоторого параметра h метода погрешность решения εh стремится к нулю, т.е. при . . В этом случае, если выполняется оценка , где С - const и не зависит от h, считается, что порядок погрешности равен p и обозначается коротко

Слайд 28

09/02/2023
Например, метод вычисления y=e-x при x>0
Метод – несколько первых членов

ряда
Погрешность:

Слайд 29

09/02/2023
Ошибки округлений
Все расчеты на ЭВМ производятся с конечным числом значащих цифр,

определяемым объемом ячеек памяти. Поэтому при вычислении, например, 1/3 = 0,3333...3..., и если округление производится на седьмом знаке, то вносится ошибка ε ≈ 10-8.
Когда вычислений много, то такие ошибки могут накапливаться и, наоборот, компенсироваться (положительные и отрицательные).
В зависимости от реакции на погрешность округлений вычислительные методы разделяются на устойчивые и неустойчивые.
Метод устойчив, если в процессе вычислений ошибки округлений не накапливаются, в противном случае метод неустойчив.
При увеличении количества вычислений по неустойчивому методу ошибки быстро нарастают, что приводит к переполнению ЭВМ.
Одной из задач вычислительной математики является установление условий устойчивости и разработка рекомендаций по созданию устойчивых методов.

Слайд 30

09/02/2023
Итерационные методы решения задач
Задача:
Итерационные методы основаны на построении сходящейся

к точному решению x* бесконечной рекуррентной последовательности элементов той же природы, что и x*.
Последовательность называется рекуррентной порядка m, если каждый следующий ее член выражается через m предыдущих по некоторому правилу
Для реализации m-шагового метода требуется задать m первых членов, называемых начальным приближением

Слайд 31

09/02/2023
Процесс вычислений
Задают начальное приближение и по формуле xm=ϕ(xm-1) последовательно находят
Процесс

получения следующего k-го члена через предыдущие называется k-й итерацией.
Итерации выполняются до тех пор, пока очередной член xk не будет удовлетворять заданной точности, т.е.
Ввиду того, что точное решение x* заранее неизвестно, обычно сходимость метода определяют по близости двух последних членов, т.е. расчеты производят до тех пор, пока не выполнится условие или более точно
Получаем x*≅xk

Слайд 32

09/02/2023
Пример простого итерационного метода
Приводим уравнение к виду
Можно так
Рекуррентная последовательность
Задаем начальное условие

x0 и находим x1, x2, … xk
Условие сходимости

Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики

Содержание

09/02/2023Цель курса: Освоение методологии вычислительного эксперимента на базе моделей сплошной среды,

09/02/2023Литература Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978. Болсун А.И.,

09/02/2023Введение: система – средство достижения цели человекомВ качестве средства достижения цели

09/02/2023Введение: Задачи анализа и синтезаДля достижения своих целей, в частности при

09/02/2023Примеры технических системДвижение планет и космических объектовДинамика атмосферы и океанаТехника генерации,

09/02/2023Тема 1 Математические модели и численные методы Как исследуются физические явления

09/02/2023Как исследуются физические явления и решаются задачиИмеется два способа решения инженерных

09/02/2023Математическая модель - это описание исследуемого объекта (системы) с помощью математических

09/02/2023Пример: Модель конденсатора+-Простейшая модельНе учитывает краевых эффектовБолее сложная модельС учетом краевых

09/02/2023Методы (алгоритмы) решения математических задачРешить задачу - это значит указать алгоритм

09/02/2023Как оценивается погрешность вычислений?Погрешность обычно оценивают одним числом ε, характеризующим близость

09/02/2023Нормированное пространство Множество элементов в котором каждому элементу поставлено в соответствие

09/02/2023Пространство непрерывных функций С[ab]Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных

09/02/2023Например11

09/02/2023Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функцийМножество функций, для которых

09/02/2023Например11

09/02/2023Заметим, что функции f и g на рис.будут "близкими" в пространстве

09/02/2023Скалярное произведение в L2[a,b] Ортогональными называются две функции из L2, если

09/02/2023Например111

09/02/2023Пространство Соболева Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом производные до s

09/02/2023Виды погрешностейАбсолютная погрешность ΔX между точным X и приближенным значениями некоторого

09/02/2023Примерzf

09/02/2023Откуда возникают погрешности расчетов? Есть четыре источника погрешности результата, о которых

09/02/2023Неточность математической моделиЛюбая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и

09/02/2023Погрешность исходных данныхИсходные данные обычно получаются из измерений либо - наоборот,

09/02/2023Погрешность методаПри построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде

09/02/2023Например, метод вычисления y=e-x при x>0 Метод – несколько первых членов

09/02/2023Ошибки округленийВсе расчеты на ЭВМ производятся с конечным числом значащих цифр,

09/02/2023Итерационные методы решения задач Задача: Итерационные методы основаны на построении сходящейся

09/02/2023Процесс вычисленийЗадают начальное приближение и по формуле xm=ϕ(xm-1) последовательно находят Процесс

09/02/2023Пример простого итерационного методаПриводим уравнение к видуМожно такРекуррентная последовательностьЗадаем начальное условие

Похожие презентации

09/02/2023
Цель курса: Освоение методологии вычислительного эксперимента на базе моделей сплошной среды,

09/02/2023
Литература
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.
Болсун А.И.,

09/02/2023
Введение: система – средство достижения цели человеком
В качестве средства достижения цели

09/02/2023
Введение: Задачи анализа и синтеза
Для достижения своих целей, в частности при

09/02/2023
Примеры технических систем
Движение планет и космических объектов
Динамика атмосферы и океана
Техника генерации,

09/02/2023
Тема 1 Математические модели и численные методы
Как исследуются физические явления

09/02/2023
Как исследуются физические явления и решаются задачи
Имеется два способа решения инженерных

09/02/2023
Математическая модель - это описание исследуемого объекта (системы) с помощью математических

09/02/2023
Пример: Модель конденсатора
+
-
Простейшая модель
Не учитывает
краевых эффектов
Более сложная модель
С учетом краевых

09/02/2023
Методы (алгоритмы) решения математических задач
Решить задачу - это значит указать алгоритм

09/02/2023
Как оценивается погрешность вычислений?
Погрешность обычно оценивают одним числом ε, характеризующим близость

09/02/2023
Нормированное пространство
Множество элементов в котором каждому элементу поставлено в соответствие

09/02/2023
Пространство непрерывных функций С[ab]
Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных

09/02/2023
Например
1
1

09/02/2023
Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функций
Множество функций, для которых

09/02/2023
Например
1
1

09/02/2023
Заметим, что функции f и g на рис.
будут "близкими" в пространстве

09/02/2023
Скалярное произведение в L2[a,b]
Ортогональными называются две функции из L2, если

09/02/2023
Например
1
1
1

09/02/2023
Пространство Соболева
Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом производные до s

09/02/2023
Виды погрешностей
Абсолютная погрешность ΔX между точным X и приближенным значениями некоторого

09/02/2023
Пример
z
f

09/02/2023
Откуда возникают погрешности расчетов?
Есть четыре источника погрешности результата, о которых

09/02/2023
Неточность математической модели
Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и

09/02/2023
Погрешность исходных данных
Исходные данные обычно получаются из измерений либо - наоборот,

09/02/2023
Погрешность метода
При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде

09/02/2023
Например, метод вычисления y=e-x при x>0
Метод – несколько первых членов

09/02/2023
Ошибки округлений
Все расчеты на ЭВМ производятся с конечным числом значащих цифр,

09/02/2023
Итерационные методы решения задач
Задача:
Итерационные методы основаны на построении сходящейся

09/02/2023
Процесс вычислений
Задают начальное приближение и по формуле xm=ϕ(xm-1) последовательно находят
Процесс

09/02/2023
Пример простого итерационного метода
Приводим уравнение к виду
Можно так
Рекуррентная последовательность
Задаем начальное условие