Расчет интегралов методом Монте-Карло Понятие о методах Монте-Карло. Расчет интегралов

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Расчет интегралов методом Монте-Карло Понятие о методах Монте-Карло. Расчет интегралов

Содержание

2. Понятие о методах Монте-Карло При исследовании взаимодействующих систем расчет термодинамических средних методом точной диагонализации при достаточно
3. Простейший пример: вычисление площади сложной плоской фигуры Поместим фигуру внутрь единичного квадрата Выберем внутри квадрата N
4. Расчет интегралов Требуется вычислить интеграл Выберем произвольную плотность распределения, удовлетворяющую условию Определим случайную величину – случайная
5. Расчет интегралов Для оптимального расчета интеграла с минимальной погрешностью следует выбирать распределение p(x), пропорциональное |g(x)| или,
6. Расчет интегралов Рассчитаем методом Монте-Карло интеграл Используем для расчета интеграла различные нормированные функции распределения:
7. Расчет интегралов Распределение p3(x) наиболее близко к подынтегральной функции Сходимость при равномерном распределении должна быть наихудшей
8. Расчет интегралов Процесс сходимости расчетного значения интеграла к точному значению в зависимости от числа сгенерированных случайных
10. Скачать презентацию

Слайд 2

Понятие о методах Монте-Карло
При исследовании взаимодействующих систем расчет термодинамических средних методом

точной диагонализации при достаточно большом размере системы неприменим из-за огромного числа степеней свободы в системе
Метод Монте-Карло позволяет даже в случае макроскопически большого числа степеней свободы получить асимптотически точные результаты для термодинамических характеристик системы
Создателями метода считаются Дж. Нейман и С. Улам (1949 г.)
Методы стохастического моделирования, такие как метод МК, используются как для физических задач, так и для решения сложных математических проблем, где другие аналитические и приближенные подходы не работают

Слайд 3

Простейший пример: вычисление площади сложной плоской фигуры
Поместим фигуру внутрь единичного квадрата

Выберем внутри квадрата N случайных точек
Площадь фигуры равна отношению числа точек, попавших внутрь фигуры, к полному числу точек
Преимущество: простота использования (нужен лишь хороший датчик случайных чисел)
Недостаток: ошибка расчета уменьшается в среднем как
Для более эффективной сходимости нужен алгоритм, учитывающий особенности задачи

Слайд 4

Расчет интегралов
Требуется вычислить интеграл
Выберем произвольную плотность распределения, удовлетворяющую условию
Определим случайную величину
–

случайная величина, распределенная с плотностью

Тогда
Применяя центральную предельную теорему к серии случайных величин, имеем:
Таким образом, при достаточно большом N

Слайд 5

Расчет интегралов
Для оптимального расчета интеграла с минимальной погрешностью следует выбирать распределение

p(x), пропорциональное |g(x)| или, по возможности, близкое к этому
Такой выбор распределения приводит к наименьшей статистической ошибке и быстрейшей скорости расчета
Такой расчет интеграла с наиболее близкой к |g(x)| плотностью распределения называется существенной выборкой
В методе Монте-Карло вместо всех возможных значений степеней свободы используются существенные выборки

Слайд 6

Расчет интегралов
Рассчитаем методом Монте-Карло интеграл
Используем для расчета интеграла различные нормированные функции

распределения:

Слайд 7

Расчет интегралов
Распределение p3(x) наиболее близко к подынтегральной функции
Сходимость при равномерном распределении

должна быть наихудшей

Слайд 8

Расчет интегралов
Процесс сходимости расчетного значения интеграла к точному значению в зависимости

от числа сгенерированных случайных точек

Расчет интегралов методом Монте-Карло Понятие о методах Монте-Карло. Расчет интегралов

Содержание

Понятие о методах Монте-КарлоПри исследовании взаимодействующих систем расчет термодинамических средних методом

Простейший пример: вычисление площади сложной плоской фигурыПоместим фигуру внутрь единичного квадрата

Расчет интеграловТребуется вычислить интегралВыберем произвольную плотность распределения, удовлетворяющую условиюОпределим случайную величину–

Расчет интеграловДля оптимального расчета интеграла с минимальной погрешностью следует выбирать распределение

Расчет интеграловРассчитаем методом Монте-Карло интегралИспользуем для расчета интеграла различные нормированные функции

Расчет интеграловРаспределение p3(x) наиболее близко к подынтегральной функцииСходимость при равномерном распределении

Расчет интеграловПроцесс сходимости расчетного значения интеграла к точному значению в зависимости

Похожие презентации