Решение уравнения с одним неизвестным

осуществляется итерационными методами, в которых последовательно, шаг за шагом, производится уточнение начального приближения корня. Итерацией называется совокупность вычислительных операций, приводящих к новому приближенному значению корня. Если каждое последующее значение x(k) (k=1,2,3,…) находится все ближе к точному значению, говорят, что метод сходится. В противном случае метод расходится. Для реализации итерационного процесса должны быть заданы начальное приближение x(0) и точность ε, с которой найти решение уравнения. Условие окончание имеет вид: |x(k)-x(k-1)| ≤·ε.Все методы можно разделить на две группы: с условной и безусловной сходимостью.

Метод половинного деления

В этом методе на каждой итерации новое приближение определяется как: x(k)=(a(k-1)+b(k-1))/2, где к – номер итерации.

Алгоритм
Задаем функцию f(x), отрезок [a(0),b(0)], точность ε и k=1.
Вычисляем приближение x(k)=(a(k-1)+b(k-1))/2
Определяем новый отрезок [a(k),b(k)]. Проверяем, если f(a(k-1))*f(x(k))>0, то a(k)=x(k) и b(k)=b(k-1), иначе a(k)=a(k-1) и b(k)=x(k).
Проверяем условие окончания, если |b(k)-a(k)| ≤·2ε, то за ответ принимаем значение равное x=(a(k)+b(k))/2 и переходим на пункт 5, иначе k=k+1 и переходим на пункт 2.
выводим x и f(x).

Методы с безусловной сходимостью

≤ 2ε

конец

x := (b+a)/2

нет

да

т.е. 2ε = 0.02

x= –1,38±0.01 f(x) = –0,038 (невязка)

эквивалентному виду x=ϕ(x). Тогда на каждой итерации новое приближение будем определять как:
x(1) = ϕ (x(0)), x(2) = ϕ (x(1)), x(3) = ϕ (x(2)),….., т.е. x(k)=ϕ(x(k-1)), k=1,2,3… .
За x(0) принимают любое число на заданном отрезке [a;b]. Вид функции ϕ(x) определим исходя из достаточного условия сходимости, которое записывается как: |ϕ’(x)| < 1, для всех значений x отрезка[a;b], т.е. максимальная производная на заданном отрезке должна быть меньше единицы.

Общий подход для получения итерационной формулы x=ϕ(x)
Помножим обе части уравнения f(x)=0 на множитель, и прибавим к обеим частям по x, тогда итерационная формула будет иметь вид:
x = x + βf(x) = ϕ(x)

Методы с условной сходимостью

Для уравнения x2-5=0 можно положить ϕ(x)=5/x или ϕ(x)=(1/2)(x+5/x) и соответствующие итерационные формулы будут иметь вид x(k)=5/x(k-1) и x(k)=(1/2)(x(k-1)+5/x(k-1)).

А во втором сходится

В первом случаи метод расходится

ϕ’(x) = 1 + βf’(x) |1 + βf’(x)| < 1 -1 < 1 + βf’(x) < 1 -2 < βf’(x) < 0.
Мы должны выбрать максимальную по модулю производную |f’(x)| на заданном отрезке.
|f’(b)|>|f’(a)| β = -2/f’(b),иначе β = -2/ f’(a)

-1,2
f'(a) = -7,489 f'(b) = -5,924 β = 0,267 ≈ 0.2
x(k) = x(k-1) + β(3sin(2x(k-1))-1.5x(k-1)-1)

Ответ: x = -1,38±0.01 f(x) = -0,020

уравнения f(x)=0.

Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

f(x(k-1)+∆x(k-1))=0

где ∆x(k-1)= x* -x(k-1) и x* = x(k-1)+ ∆x(k-1)

Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами.

f(x(k-1)+∆x(k-1)) = f(x(k-1))+ f′(x(k-1))∆x(k-1) = 0

откуда

Полученное значение принимаем за новое приближение к решению. Тогда итерационную формулу запишем как:

границ отрезка [a; b], содержащего один корень.

На каждой итерации, за новое приближение к корню x(k) принимается точка пересечения касательной к графику, построенной в точке f(x(k-1)) с осью абсцисс x:

x принимаем одну из границ заданного отрезка [a,b] x=a.
Вычисляем значение шага h= f(x)/f′(x) и новое приближение, как x = x-h.
Проверяем условие окончания если | h | ≤ ε, то выводим последнее значение x и f(x). Иначе перейдем на пункт 2

Блок-схема