Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений

если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований системы.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида:
1) умножение обеих частей уравнения на число α ≠ 0;
2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число α ≠ 0;
3) перестановка двух уравнений;
4) вычеркивание одного из двух пропорциональных или одинаковых уравнений.

неизвестное x1;
б) из всех уравнений системы кроме первого и второго исключается неизвестное x2;
в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x3 и т.д.
В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов.
1) Первый возможный вид:

имеет единственное решение.
Находим решение:
а) из последнего уравнения системы (5):

б) из предпоследнего уравнения системы (5):

И т.д. получим последовательно xn-2, xn-3, … , x1.

система) совместна и имеет множество решений.
Находим решение:

Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем зависимыми. Остальные переменные назовем независимыми (или свободными).
Пусть, например, x1,x2, …, xr – зависимые, xr+1,xr+2, …, xn – свободные.

свободные:

Система (8), в которой зависимые переменные выражены через свободные, называется общим решением системы (6) (а значит и исходной системы).
Придавая свободным переменным в общем решении конкретные значения, мы можем записать бесконечно много решений системы.

с n неизвестными, т.е. систему вида

Решение x1 = x2 = … = xn = 0 называют нулевым (тривиальным).
Если а) m = n и |A| = 0 или б) m < n , то r(A)Пусть c1,c2, …, cn и d1,d2, …, dn – два решения системы линейных уравнений (1), α,β– числа. Линейной комбинацией этих решений с коэффициентами α и β будем называть упорядоченную последовательность n чисел вида
αc1+ βd1, αc2 + βd2, …, αcn + βdn

тоже является решением этой системы.
ТЕОРЕМА 2. Пусть r – ранг матрицы системы (1). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n-r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией.
Решения, о которых идет речь в теореме 2, называются фундаментальной системой решений.
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР:
1) находим общее решение системы;
2) записываем любой отличный от нуля определитель Δ , порядка n – r;
3) записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ. Полученные таким образом n–r решений будут являться фундаментальной системой решений системы.

линейных однородных уравнений вида

называют соответствующей системе (2).