СЛУ (Системы линейных уравнений)

1. Общий вид, основные понятия, матричная форма
Система m линейных уравнений с

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной,

Любую СЛУ можно представить в матричном виде:
На основании согласованности матрицы А

Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса)
Рассмотрим СЛУ:
Данный метод применим к СЛУ

Алгоритм метода:
1 уравнение умножаем на и складываем со вторым уравнением системы;
1

1 случай:
В этом случае СЛУ имеет единственное решение.
Значение находится из последнего

2 случай:
В этом случае СЛУ имеет бесконечно много решений.
Из последнего уравнения

3 случай:
В этом случае СЛУ несовместна (не имеет решений), т.к. последнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их

Схема действий метода Гаусса:
а) из всех уравнений системы кроме первого

Исключение неизвестных обычно осуществляют элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы СЛУ.
В

Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор называются базисными неизвестными.

Если n – число неизвестных системы, r – её ранг, то

Если ранг основной и расширенной матриц СЛУ совпадает с числом неизвестных

Решение СЛУ, в котором базисные неизвестные выражены через свободные неизвестные, называется

Общее решение системы линейных уравнений можно получить, руководствуясь, например, следующим планом:
а)

Фундаментальной системой частных решений системы n однородных линейных уравнений (СОЛУ) называется

Фундаментальную систему частных
решений (ФСЧР СОЛУ) получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные

4. Метод Гаусса

Метод Гаусса (1)

Метод Гаусса (2)

Рассмотрим систему

Метод Гаусса (3)

Рассмотрим систему

С помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе

Метод Гаусса (4)

Возможен один из следующих случаев:

1) система не имеет решений (система

Теорема Кронекера-Капелли (1)

Рассмотрим систему уравнений

Теорема Кронекера-Капелли (2)

Рассмотрим систему уравнений

Обозначим

Теорема Кронекера-Капелли (3)

Пример 7 (1)

Методом Гаусса решить систему уравнений:

Пример 7 (2)

Решение. Запишем расширенную матрицу:

Пример 7 (3)

Пример 7 (4)

Пример 7 (4)

r(A)=r(Ã)=3

Пример 7 (5)

Решение.

Пример 7 (6)

Решение.

Пример 7 (7)

Решение. Найдем x1:

Пример 7 (8)

Решение.

x1=1, x2=1, x3=0 – единственное решение.

2) Метод Крамера
Метод основан на вычислении определителей, поэтому применим к СЛУ

Введем следующие обозначения:
Теорема. Если , то СЛУ имеет единственное решение
,

3) Метод обратной матрицы
Метод основан на нахождении обратной матрицы, поэтому применим

3. Теорема Кронекера-Капелли
Помимо метода Гаусса, на вопрос совместна ли СЛУ или

Системы линейных уравнений (1)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Системы линейных уравнений (2)

Матричный вид системы

Обозначения:

Матрица коэффициентов при неизвестных

Столбец неизвестных

Столбец свободных членов

Матричные уравнения (1)

Матричная запись системы:
A·X=B

Пример 1 (продолжение)

A·X=B

Пример 2 (продолжение)

A·X=B

Пример 3 (продолжение)

A·X=B

Матричные уравнения (2)

Матричная запись системы:
A·X=B

A-1 ─ существует

Пусть m=n
Пусть detA≠0

Матричные уравнения (3)

Тогда

Матричные уравнения (4)

Тогда

Матричные уравнения (5)

Тогда

Матричные уравнения (6)

Тогда

Пример 4 (1)

Решите систему уравнений:

Пример 4 (2)

Решите систему уравнений:

Обозначим:

Получим матричное уравнение:
A·X=B

Решение.

Пример 4 (3)

Вычислим определитель матрицы коэффициентов:

Пример 4 (4)

Найдем алгебраические дополнения элементов:

Пример 4 (5)

Пример 4 (6)

Пример 4 (7)

Запишем обратную матрицу:

Пример 4 (8)

По формуле X=A-1·B найдем решение
матричного уравнения:

Правило Крамера (1)

Пусть m=n
Пусть detA = Δ ≠ 0

Рассмотрим систему

Правило Крамера (2)

Пусть m=n
Пусть detA = Δ ≠ 0

Рассмотрим систему

J –

Правило Крамера (3)

Решение системы

Пример 5 (1)

Решите систему уравнений:

Пример 5 (2)

Решение. Запишем определитель из коэффициентов уравнения:

Решите систему уравнений:

Пример 5 (3)

Решение. Запишем определитель из коэффициентов уравнения:

Решите систему уравнений:

Вычислим определители Δ1

Пример 5 (4)

Подставим полученные значения в формулы:

Занятие 5.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ГАУССА.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.

Пусть задана система:

1. Составим расширенную матрицу.
2. С помощью элементарных преобразований

Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью

Получаем:

Вернёмся к системе уравнений

Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система

Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

Получаем:

Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная

Пример 8. Решить систему:

Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

Получаем:

Вернёмся к системе уравнений.

Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то

Решение:
Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных

Вернёмся к системе уравнений:

Как мы видим, с помощью метода Гаусса

Занятие 7
Решение систем линейных уравнений
методом Крамера

Пусть дана система:

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных

Найдём определитель
det A=

Правило Крамера. Если m=n и det A≠0,

Решение системы линейных уравнений :

Находим определитель системы .
Вычисляем определители х1, x2,

Пример 1. Решить систему:

Решение:

Пример 2. Решить систему:

Решение:

Находим: х1, х2, х3.

Применяем формулы Крамера:

х1=1; х2=2; х3=-2

Занятие 9
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Дана система:

Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отсюда: Х=

Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений:

Решение:
Находим определитель

Если

Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.