Системы с одной степ свободы

Рассматриваются линейно деформируемые системы.
Массы сосредоточенные, элементы системы невесомые.
3. Сопротивление внешней среды и внутреннее трение в системе
учитываются по модели вязкого трения.
4. Исследуется движение системы относительно
её исходного состояния, в качестве которого принимается
состояние равновесия, вызванное статическими воздействиями
( постоянными и временными нединамическими ).
5. Определению подлежат динамические составляющие
напряжённо-деформированного состояния движущейся системы
( перемещения, усилия, напряжения, деформации ).

F = 1

F = 1

F = 1

F = 1

F = 1

δ11

δ11

δ11

δ11

δ11

m = Σ mj

δ11 – упругая
податливость системы
в точке расположения
массы по направлению
её движения

m

y(t)

y

0

R(t)

R(t) – реакция
дискретной связи

FD (t)

Сила
сопротивле-
ния (реакция)
вязкой среды

J(t) – сила инерции

Математическая
модель

Статическая сторона задачи
( уравнение равновесия )
Σy = 0:
J(t) + FD (t) + R(t) = 0 ( 1 )

Геометрическая сторона задачи
( условие совместности
деформации дискретной связи
и перемещения массы )
Δlc (t) = y(t) ( 2 )

3. Физическая сторона задачи
– закон Гука ( для дискретной упругой связи ):
– закон инерции ( для силы инерции Д’Аламбера ):
– закон вязкого сопротивления ( по модели Фойгта ):

( 3 )

W. Voigt

kf – коэффициент сопротивления

m

y(t)

y

0

R(t)

FD (t)

J(t)

Математическая
модель

Разрешающее уравнение –
дифференциальное уравнение
свободного движения:

или

Коэффициент демпфирования

Характеристическое уравнение:

Уравнение свободного движения
при β 2 < c / m:
y(t) = a0e – βt sin (ωt + ϕ0 )

Динамика систем с одной степенью свободы масс

ω – угловая частота свободных колебаний системы с одной степенью свободы

а0

а0

y0

y(t)

t

a0e – βt

T

T

аi

ai +1

– логарифмический
декремент
затухания

0

– a0e – βt

T = 2π /ω

начальная амплитуда

начальная фаза

а0

а0

y0

y(t)

t

T

T

T

аi

ai +1

Логарифмический
декремент затухания

δ = 0

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

0

– частота ( угловая )
собственных
колебаний

0

R(t)

FD (t)

J(t)

Математическая
модель

Статическая сторона задачи
( уравнение равновесия )
Σy = 0:
J(t) + FD (t) + R(t) + F(t) = 0

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения

Решение дифференциального уравнения
вынужденного движения системы
с одной степенью свободы масс:

– общее решение
однородного
уравнения

– частное решение
неоднородного уравнения
при заданной функции F(t)

y*(t)

y*(t) ,

ydyn

y*(t)

t

ydyn

TF

TF

Δt

Δt

yst,F = F/c ;

Динамический коэффициент
( коэффициент динамичности )

– коэффициент
неупругого
сопротивления

0

0

Частный случай динамического воздействия – вибрационная нагрузка F(t) = F * sin ωF (t)

γ =

0,025 – сталь
0,05 – дерево
0,08 – кирпичная кладка
0,1 – бетон и железобетон

Динамика систем с одной степенью свободы масс

y(t) = a0e – βt sin (ωt + ϕ0 ) + μ * yst,F sin ( ωF t – ε )

Условие
возникновения
резонанса: ωF = ω

Динамический
коэффициент
при резонансе:

8

Резонансная
кривая

(амплитудно-
частотная
характе-
ристика)

0

F(t)

F

t

y*(t) = yst,F = F/c

a0

y(t)

t

yst,F + a0e – βt

a0

0

yst,F – a0e – βt

yst,F

Динамический коэффициент

; при β = 0 ( kf = 0 ) μ = 2

0

F(t)

F

t

t

0

Интеграл Дюамеля
( J.M.C. Duhamel )

Δt

Нагрузка, произвольно изменяющаяся
во времени ( по сложному закону F(t) )

F(t)

τ

dτ

F(τ)

y(t) = a0e – βt sin (ωt + ϕ0 ) +

+

Δt < T/(~50)

0

t

y(t)

A0

A0

y(t) = A0e – βt sin ωt

t

0

F(t)

0

t

y(t)

a0e – βt sin (ωt + ϕ0 ).

t

0

y(t)

t

0

F(t)

t

F(t)

0

0

t

y(t)

Вибрационная
( гармоническая )
нагрузка

Внезапно
прикладываемая
нагрузка

Линейно
возрастающая
нагрузка

Для безмассовой
системы

F(t)

m

R (t)

FD (t)

J(t)

= – [F (t) + FD (t) + J(t)]

R (t) = – с * y(t)

Эквивалентная расчётная нагрузка
для безмассовой системы

y(t)

Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =

F (t) + FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

– из условия
равновесия

– по закону Гука
для связи в модели

Расчётная
модель

Динамика систем с одной степенью свободы масс

Sdyn (t)

В модели

В исходной
конструкции

R (t) = – с * y(t)

Эквивалентная расчётная нагрузка
для безмассовой системы

y(t)

Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =

F (t) + FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

– из условия
равновесия

– по закону Гука
для связи в модели

Динамика систем с одной степенью свободы масс

Sdyn (t)

Полные усилия, напряжения, перемещения

y(t)

Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =

F (t) + FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

Динамика систем с одной степенью свободы масс

Sdyn (t)

S(t) = Sst + Sdyn (t) ,

где Sst = Sconst + Stemp, st

0

t

S (t)

Smax

Smin

Sst

Полные усилия, напряжения, перемещения

Δ(t), σ(t) – аналогично

Напряжения при установившихся
вынужденных гармонических колебаниях

– усилия от статических ( квази-
статических ) воздействий

y(t)

Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =

F (t) + FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

Динамика систем с одной степенью свободы масс

σ (t)

S(t) = Sst + Sdyn (t) ,

где Sst = Sconst + Stemp, st

0

t

S (t)

Smin

Sst

Напряжения при установившихся
вынужденных гармонических колебаниях

σm

σa

σm

σa

0

σu

σ–1

Δ(t), σ(t) – аналогично

Полные усилия, напряжения, перемещения

Smax

– усилия от статических ( квази-
статических ) воздействий